2025届新高考数学精准突破复习计数原理与概率

2025届新高考数学精准突破复习计数原理与概率主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用.考情分析思维导图内容索引典型例题热点突破典例1

(1)(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_____种(用数字作答).考点一排列、组合64(2)当从8门课中选修3门时，综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种).(2)(2023·南昌模拟)中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品.灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连.灯笼成了中国人喜庆的象征.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为√设红木宫灯、檀木宫灯为a1，a2；楠木纱灯、花梨木纱灯为b1，b2；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为c1，c2.先求仅a1a2相邻的种数，把a1a2看作一个元素，此时有五个位置可选，故仅a1a2相邻共有N1＋N2＋N3＝96(种)排法，同理得仅b1b2相邻，仅c1c2相邻的情况，也都有96种排法，跟踪训练1

(1)(2023·茂名模拟)从1,2,3,4,5中任选3个不同的数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为√要使该三位数能被3整除，只需3个数字和能被3整除即可，(2)(2023·齐齐哈尔模拟)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺)：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间最多间隔一艺的不同排课方法种数为A.432 B.486C.504 D.540√典例2

(1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为_____(用数字作答).考点二二项式定理－28(2)(多选)已知(2－x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024，则A.a0＝1B.a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝22024C.a2018＝D.|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2024|＝32024－22024√√令x＝0，得22024＝a0，故A错误；令x＝1，得(2－1)2024＝a0＋a1＋a2＋…＋a2024，即a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝1－22024，故B错误；由(2－x)2024的展开式的通项及题意，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2024|＝－a1＋a2－a3＋…＋a2024，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2024＝(2＋1)2024＝32024，则－a1＋a2－a3＋…＋a2024＝32024－22024，故D正确.跟踪训练2

(1)(2023·汕头模拟)在

的展开式中，xy7的系数为_______.－720(2)(多选)已知

(a>0)的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中A.奇数项的二项式系数和为256B.第6项的系数最大C.存在常数项D.有理项共有6项√√√令x＝1，得(a＋1)10＝1024，则a＝1或a＝－3(舍去).对于B，由题意知展开式共11项，第6项的系数最大，故B正确；对于D，当r＝0,2,4,6,8,10时，Tr＋1为有理项，故有理项共有6项，故D正确.典例3

(1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1).考点三概率A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－

α)(1－β)2B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用

单次传输方案译码为0的概率√√√对于A，依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1；0,1,1和1,1,1这4个事件的和，对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，故D正确.(2)(2023·莆田模拟)某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为A.0.23 B.0.47C.0.53 D.0.77√由题图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%,20%,10%，记事件A1，A2，A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1，又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%，记事件B为“选到绑带式口罩”，则P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4，所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为P(B)＝0.7×0.9＋0.2×0.5＋0.1×0.4＝0.77.跟踪训练3

(1)(多选)(2023·益阳质检)给定事件A，B，C，且P(C)>0，则下列选项正确的是A.P(A∪B|C)≤P(A|C)＋P(B|C)B.若P(A)>0，P(B)>0且A，B互斥，则A，B不可能相互独立C.若P(A|C)＋P(B|C)＝1，则A，B互为对立事件D.若P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，则A，B，C两两相互独立√√对于A，①当A，B互斥时，P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)，②当A，B不互斥时，P(A∪B|C)<P(A|C)＋P(B|C)，故A正确；对于B，若P(A)>0，P(B)>0且A，B互斥，那么P(AB)＝0≠P(A)P(B)，故A，B不可能相互独立，故B正确；对于C，由P(A|C)＋P(B|C)＝1得在C事件发生的前提下A和B事件发生的概率为1，并不能得出A与B是对立事件，故C错误；对于D，若P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，只能说明其中两个事件的积事件与另一事件相互独立，但推导不出三个事件两两相互独立，故D错误.√(2)(2023·广东大湾区联考)一堆苹果中大果数与小果数的比例为9∶1，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为记事件A1为放入水果分选机的苹果为大果，事件A2为放入水果分选机的苹果为小果，记事件B为水果分选机筛选的苹果为“大果”，主要考查计数原理与概率，以选择题和填空题为主，其中要注意排列组合问题的求解方法与技巧，二项式(a＋b)n的通项公式以及条件概率的求法和全概率公式的使用.总结提升1234567891011121.(2023·湖南名校教研联盟)用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着色相同的有A.96种

B.24种

C.48种

D.12种√2.(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为A.0.8

B.0.6

C.0.5

D.0.4√123456789101112方法一如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.123456789101112方法二令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，1234567891011123.(2023·汕头模拟)现将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，若要求A，B相邻，且B，C不相邻，则不同的排列方式的种数为A.192

B.240

C.120

D.28√1234567891011121234567891011124.

的展开式中常数项为A.－6

B.－20

C.0

D.20√1234567891011125.(2023·湖南新高考教学教研联盟联考)某高校计划在今年暑假安排编号为A，B，C，D，E，F的6名教师到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D必须安排在同一个学校.则不同的安排方法共有A.96种

B.144种

C.240种

D.384种√1234567891011126.(2023·岳阳模拟)某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开设了“球类”“棋类”“书法”“绘画”“舞蹈”五项活动.若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项活动至多有一项被选中的概率为A.0.9

B.0.7

C.0.6

D.0.3√123456789101112“书法”和“绘画”这两项活动至多有一项被选中分两种情况：7.(多选)已知(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则A.a0＝28B.a1＋a2＋…＋a8＝1C.|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38D.a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8√√123456789101112123456789101112取x＝0，可得a0＝28，故A正确；取x＝1，把a0＝28代入可得a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B不正确；取x＝－1，可得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－a1＋a2－…＋a8＝38－28，故C不正确；已知等式两边对x求导数可得－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋…＋8a8x7，取x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，故D正确.8.(多选)(2023·杭州模拟)一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A1为“第一次取出的是红球”；事件A2为“第一次取出的是白球”；事件B为“取出的两球同色”；事件C为“取出的两球中至少有一个红球”，则A.事件A1，A2为互斥事件B.事件B，C相互独立√√√123456789101112第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，故A正确；由于红球有3个，白球有2个，事件B发生时，两球同为白色或同为红色，123456789101112则P(BC)≠P(B)P(C)，所以事件B，C不相互独立，故B错误；1234567891011129.(2023·德阳质检)已知(1－ax)5(1＋3x)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为_____.2123456789101112解得a＝2.123456789101112由题意可得，乙在第一局负的情况下获胜，则乙还需要胜四局