2021年实数经典例题及习题竞赛

典型例题

类型一．关于概念辨认

1．下面几种数：0.23，1.…，，3π，，，其中，无理数个数有（）

A、1B、2C、3D、4

解析：本题重要考察对无理数概念理解和应用，其中，1.…，3π，是无理数

故选C

举一反三：

【变式1】下列说法中对的是（）

A、平方根是±3B、1立方根是±1C、=±1D、是5平方根相反数

【答案】本题重要考察平方根、算术平方根、立方根概念，

∵=9，9平方根是±3，∴A对的．

∵1立方根是1，=1，是5平方根，∴B、C、D都不对的．

【变式2】如图，以数轴单位长线段为边做一种正方形，以数轴原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表达数是（）

A、1B、1.4C、D、

【答案】本题考察了数轴上点与全体实数一一相应关系．∵正方形边长为1，对角线为，由圆定义知|AO|=，∴A表达数为，故选C．

【变式3】

【答案】∵π=3.1415…，∴9＜3π＜10

因而3π-9＞0，3π-10＜0

∴

类型二．计算类型题

2．设，则下列结论对的是（）

A.B.

C.D.

解析：（估算）由于，因此选B

举一反三：

【变式1】1）1.25算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.

【答案】1）；.2）-3.3），，

【变式2】求下列各式中

（1）（2）（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

类型三．数形结合

3.点A在数轴上表达数为，点B在数轴上表达数为，则A，B两点距离为______

解析：在数轴上找到A、B两点，

举一反三：

【变式1】如图，数轴上表达1，相应点分别为A，B，点B关于点A对称点为C，则点C表达数是（）．

A．－1B．1－C．2－D．－2

【答案】选C

[变式2]已知实数、、在数轴上位置如图所示：

化简

【答案】：

类型四．实数绝对值应用

4．化简下列各式：

(1)|-1.4|(2)|π-3.142|

(3)|-|(4)|x-|x-3||(x≤3)

(5)|x2+6x+10|

分析：要对的去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内数是正数、负数还是零，然后依照绝对值定义对的去掉绝对值。

解：(1)∵=1.414…＜1.4

∴|-1.4|=1.4-

(2)∵π=3.14159…＜3.142

∴|π-3.142|=3.142-π

(3)∵＜，∴|-|=-

(4)∵x≤3，∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3|=

阐明：这里对|2x-3|成果采用了分类讨论办法，咱们对这个绝对值基本概念要有清晰结识，并能灵活运用。

(5)|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0，∴(x+3)2+1＞0

∴|x2+6x+10|=x2+6x+10

举一反三：

【变式1】化简：

【答案】=+-=

类型五．实数非负性应用

5．已知：=0，求实数a，b值。

分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则规定a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数和性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a，b值。

解：由题意得

由(2)得a2=49∴a=±7

由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7，b=21为所求。

举一反三：

【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0，≥0，|y+2z|≥0,

几种非负数和等于零，则必有每个加数都为0。

∴解这个方程组得

∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【变式2】已知那么a+b-c值为___________

【答案】初中阶段三个非负数：，

a=2,b=-5,c=-1；a+b-c=-2

类型六．实数应用题

6．有一种边长为11cm正方形和一种长为13cm，宽为8cm矩形，要作一种面积为这两个图形面积之和正方形，问边长应为多少cm。

解：设新正方形边长为xcm，

依照题意得x2=112+13×8

∴x2=225

∴x=±15

∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，

∴只取x=15(cm)

答：新正方形边长应取15cm。

举一反三：

【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b矩形拼成一种大正方形，并且正中间留下空白区域正好是一种小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

（1）计算中间小正方形面积，聪颖你能发现什么？

（2）当拼成这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形面积就比小正方形面积

多24cm2，求中间小正方形边长.

解析：（1）如图，中间小正方形边长是：

，因此面积为=

大正方形面积=，

一种长方形面积=。

因此，

答：中间小正方形面积，

发现规律是：（或）

(2)大正方形边长：，小正方形边长：

，即，

又大正方形面积比小正方形面积多24cm2

因此有，

化简得：

将代入，得：

cm

答：中间小正方形边长2.5cm。

类型七．易错题

7．判断下列说法与否对的

（1）算术平方根是-3；（2）平方根是±15.

（3）当x=0或2时，（4）是分数

解析：（1）错在对算术平方根理解有误，算术平方根是非负数.故

（2）表达225算术平方根，即=15.事实上，本题是求15平方根，

故平方根是.

（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，

发生错误因素是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，因此当x=2时，x=0.

（4）错在对实数概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.

类型八．引申提高

8．（1）已知整数某些为a，小数某些为b，求a2-b2值.

（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③

（1）分析：拟定算术平方根整数某些与小数某些，一方面判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小整数即为算术平方根整数某些，算术平方根减去整数某些差即为小数某些．

解：由得

整数某些a=5，小数某些，

∴

（2）解：(1)设x=①

则②

②-①得

9x=6

∴.

(2)设①

则②

②-①，得

99x=23

∴.

(3)设①

则②

②-①，得

999x=107，

∴.学习成果测评：

A组（基本）

一、细心选一选

1．下列各式中对的是（）

A．B.C.D.

2.平方根是()

A．4B.C.2D.

3.下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4平方根④带根号数都是

无理数。其中对的说法有（）

A．3个B.2个C.1个D.0个

4．和数轴上点一一相应是（）

A．整数B.有理数C.无理数D.实数

5．对于来说（）

A．有平方根B．只有算术平方根C.没有平方根D.不能拟定

6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数

个数有（）

A．3个B.4个C.5个D.6个

7．面积为11正方形边长为x，则x范畴是（）

A．B.C.D.

8．下列各组数中，互为相反数是（）

A．-2与B.∣-∣与C.与D.与

9．-8立方根与4平方根之和是（）

A．0B.4C.0或-4D.0或4

10．已知一种自然数算术平方根是a，则该自然数下一种自然数算术平方根是（）

A．B.C.D.

二、耐心填一填

11．相反数是________，绝对值等于数是________，∣∣=_______。

12．算术平方根是_______，=______。

13．____平方根等于它自身，____立方根等于它自身，____算术平方根等于它自身。

14．已知∣x∣算术平方根是8，那么x立方根是_____。

15．填入两个和为6无理数，使等式成立：___+___=6。

16．不不大于，不大于整数有______个。

17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。

18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。

19．数轴上点A，点B分别表达实数则A、B两点间距离为______。

20．一种正数x两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。

三、认真解一解

21．计算

⑴⑵⑶

⑷∣∣+∣∣⑸×+×

⑹4×[9+2×（）]（成果保存3个有效数字）

22．在数轴上表达下列各数和它们相反数，并把这些数和它们相反数按从小到大顺序排列，用“”号连接：

参照答案：

一：1、B2、D3、B4、D5、C6、A7、B8、C9、C10、D

二：11、，π-312、3，

13、0；0，；0，114、15、答案不唯一如：16、5

17、18、-1519、220、1，9

三：

21、⑴⑵-17⑶-9⑷2⑸-36⑹37.9

22、

B组（提高）

一、选取题：

1．算术平方根是（）

A．0.14B．0.014C．D．

2．平方根是（）

A．－6B．36C．±6D．±

3．下列计算或判断：①±3都是27立方根；②；③立方根是2；④，

其中对的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．在下列各式中，对的是（）

A．；B．;C．;D．

5．下列说法对的是（）

A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．是分数

6．下列说法错误是（）

A．B．C．2平方根是D．

7．若，且，则值为（）

A．B．C．D．

8．下列结论中对的是（）

A．数轴上任一点都表达唯一有理数；B．数轴上任一点都表达唯一无理数;

C.两个无理数之和一定是无理数；D.数轴上任意两点之间尚有无数个点

9．-27立方根与平方根之和是（）

A．0B．6C．0或-6D．-12或6

10．下列计算成果对的是（）

A．B．C．D．

二．填空题：

11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、

⑦0.3……（相邻两个3之间0个数逐次增长2）、⑧0中,其中是有理数有

__________；无理数有______