2021年X年高一数学竞赛选拔赛试题

元济中学高一数学竞赛选拔赛试题班级姓名得分选取题（每小题只有一种对的选项）1．化简得（）(A)(B)(C)(D)2．已知集合，则下列对的是（）(A)(B)(C)(D)3．当时，，则下列大小关系对的是（）(A)(B)(C)(D)4．设圆方程为，直线方程为()，圆被直线截得弦长等于()(A)(B)(C)(D)与关于5．函数是()(A)周期为偶函数(B)周期为奇函数(C)周期为偶函数(D)周期为奇函数6．设函数定义域为，解集为，解集为，则下列结论对的是（）(A)(B)(C)(D)7．已知为三条不同直线，且平面，平面，．(1)若与是异面直线，则至少与、中一条相交；(2)若不垂直于，则与一定不垂直；(3)若∥，则必有∥；(4)若，，则必有．其中对的命题个数是()(A)(B)(C)(D)8．函数对于任意恒故意义，则实数取值范畴是()(A)且(B)且(C)且(D)二、填空题9．已知，则．10．已知A、B是半径为5圆O上两个定点，P是圆O上一种动点，若AB=6，设PA+PB最大值为，最小值为，则值为．11．已知全集U=，集合M=，集合N=，则集合=．12．高一年级某班某些同窗参加环保公益活动---收集废旧电池，其中甲组同窗平均每人收集17个，已组同窗平均每人收集20个，丙组同窗平均每人收集21个．若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有个学生．13．代数式最小值为．14．设5长方体一种表面展开图周长为，则最小值是．15．定义在上函数满足：，则16．已知函数，若，则实数构成集合元素个数为.17．已知关于方程（）无实根，则取值范畴是.18．关于不等式解集为，集合，若，则实数取值范畴是.三．解答题（解答应有必要文字阐明和演算环节）19．圆方程是，点是圆上一种动点，点是关于点对称点，点绕圆心按逆时针方向旋转后所得点为，求当点在圆上移动时，点、之间距离最大值和最小值．20．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上动点，且 （Ⅰ）求证：无论λ为什么值，总有平面BEF⊥平面ABC； （Ⅱ）当λ为什么值时，平面BEF⊥平面ACD？21．设函数定义域是，且对任意均有．若对常数，，判断在上单调性；22.已知定义域为函数同步满足如下三个条件：[1]对任意，总有；[2]；[3]若，，且，则有成立，并且称为“情谊函数”，请解答下列各题：(1)若已知为“情谊函数”，求值；(2)函数在区间上与否为“情谊函数”？并给出理由.(3)已知为“情谊函数”，假定存在，使得且，求证：.参照答案一、选取题：AACABDCB填空题9．0．得而10．11．12．设甲、已、丙三个组人数分别为．则有，故233=，同理，均为整数，则或，检查方可．13．数型结合得14．长方体展开图周长为，由排序或观测得：周长最小值为．15．716．517.(-2,2)18.三、解答题19．解：设，，，设圆参数方程为，则，点是关于点对称点，．，，当=1时，有最大值|；当时，||有最小值．20．证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD， ∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC. 又 ∴无论λ为什么值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF, ∴无论λ为什么值恒有平面BEF⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴由AB2=AE·AC得故当时，平面BEF⊥平面ACD.21．解：(1)对任意，由，存在使得且，又，，在上是增函数．22.解：（1）获得，又由，得（2）显然在上满足[1]；[2].若，，且，则有故满足条件[1]、