福建省福州市兴闽高级职业中学高三数学文月考试题含解析

福建省福州市兴闽高级职业中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为等差数列的前项和，若，，则的值为（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：A2.二项式的展开式中常数项是（

）A．28

B．-7

C．7

D．-28参考答案：C3.展开式中，常数项为15，则n的值可以为

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：4.已知a＞0，b＞0，则“log2a＞log2b”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据指数函数以及对数函数的性质结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴log2a＞log2b?a＞b?，故选：C．5..一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的

体积为（

）A.

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，分别求出柱体的底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，柱体的底面由一个边长为4的正方形和一个底边长为4，高为2的三角形组成，故柱体的底面面积柱体的高即为三视图的长，即h=6．故柱体的体积V=Sh=120，故选：B．考点：三视图求面积、体积6.已知变量x，y满足约束条件 则z=x+2y的最小值为A．3

B.1

C.-5

D.-6参考答案：C略7.某厂在生产某产品的过程中，采集并记录了产量x（吨）与生产能耗y（吨）的下列对应数据：x2468y3467根据上表数据，用最小二乘法求得回归直线方程=x+1.5，那么，据此回归模型，可预测当产量为5吨时生产能耗为（）A．4.625吨 B．4.9375吨 C．5吨 D．5.25吨参考答案：C【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归方程求出回归系数，再代入模型预测x=5时y的估计值．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2+4+6+8）=5，=×（3+4+6+7）=5；回归直线方程=x+1.5经过样本中心，所以5=5+1.5，解得=0.7，∴回归方程是=0.7x+1.5；当x=5时，=0.7×5+1.5=5（吨）．故选：C．8.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心，求直线l的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，|PF|=，运用勾股定理可得|PF1|，再由椭圆的定义可得2a，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式可得M的坐标，代入椭圆方程，解方程即可得到所求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=2，左焦点F1（﹣2，0），|PF|=，所以|PF1|==，即2a=|PF|+|PF1|=2，即a2=6，b2=a2﹣c2=2，故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．将l的方程代入C得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，可得x1+x2=，所以AB的中点N（，），由坐标原点O恰为△ABM的重心，可得M（，）．由点M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，解得k2=或﹣（舍），即k=±．故直线l的方程为y=±（x﹣2）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和a，b，c的关系及点满足椭圆方程，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式，考查运算能力，属于中档题．9.已知关于x的方程：在区间（3，4）内有解，则实数a的取值范围是

（

） A.

B

）C.

D

参考答案：C10.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.．t＞0，关于x的方程|x|+=的解为集合A，则A中元素个数可能为（写出所有可能）．参考答案：0，2，3，4【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】化方程为，得到两个函数所对应的图象，画出图象，数形结合得答案．【解答】解：由|x|+=，得，由y=，得x2+y2=t（y≥0），又，作出图象如图：由图可知，当0＜t＜1或t时，A中元素个数为0；当t=1时，A中元素个数为2；当t=时，A中元素个数为3；当1＜t＜时，A中元素个数为4．故答案为：0，2，3，4．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，考查了数形结合与分类讨论的数学思想方法，是中档题．12.等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+=

．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a5=10，S5=30，可得，解得a1，d．可得Sn，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴Sn==n（n+1），∴==．则+++…+=++…+=1﹣=．故答案为：．13.学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为

．参考答案：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为．14.在中，，①__________；②若，则__________．参考答案：①；②①∵，，整理得，∴．②∵，．15.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋y的最大值为_____．参考答案：216.已知函数的定义域为R，值域为[0，1]，对任意的x都有成立，当的零点的个数为

。参考答案：917.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70m/h视为“超速”，同时汽车将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以得出将被处罚的汽车约有___________辆. 参考答案：40略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于点F.（Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共圆;（Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.参考答案：(Ⅰ)证明:∵AE=AB,

∴BE=AB,∵在正△ABC中,AD=AC,∴AD=BE,又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四点共圆.---------------------------5分(Ⅱ)解:如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,∵AE=AB,∴AG=GE=AB=,∵AD=AC=,∠DAE=60°,∴△AGD为正三角形,∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.-------------------10分略19.(本小题满分14分)如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，,是线段上一点，平面。（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）若，,,求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：解：（1）

…………7分（2）如图建立空间直角坐标系，可求出AD=4。令平面PCD的法向量为令则，

……14分20.(本小题满分16分)已知函数，为常数.（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，试比较与的大小；（3）若函数有两个零点、，试证明.参考答案：（1），由题，．……………4分（2）当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减．由题，令，则．…………………7分又，①当时，21.（12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD,且PB=PC=.（Ⅰ）求证：AB⊥CP；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）设面与面的交线为，求二面角的大小．参考答案：解析：（Ⅰ）∵

底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC,又平面PBC⊥底面ABCD

平面PBC∩

平面ABCD=BC∴AB

⊥平面PBC又PC平面PBC∴AB

⊥CP

………………3分（Ⅱ）解法一：体积法.由题意，面面，取中点，则面.再取中点，则

………………5分设点到平面的距离为，则由.

………………7分解法二：面取中点，再取中点，过点作，则在中，由∴点到平面的距离为。

………………7分解法三：向量法（略）（Ⅲ）面就是二面角的平面角.∴二面角的大小为45°.

………………12分方法二：向量法（略）.22.已知函数f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx(a∈R)，g(x)＝(1﹣x)ex.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若对任意给定的x0∈[﹣1，1]，在区间(0，e]上总存在两个不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值范围．参考答案：（1）答案见解析；（2）[，+∞)【分析】（1）首先求出函数的导数，分a≤0和a>0两种情况讨论，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；（2）首先利用导数求出g(x)的值域为[0，1]，根据（1）可排除a≤0和0＜a的情况，由函数f(x)的单调性和图象分析可知，a满足以下条件时符合题意，结合构造函数求解不等式即可得到结果.【详解】（1）f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx，x＞0，则f′(x)＝a，①当a≤0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，+∞)上为减函数，②当a>0时，令f′(x)＞0得x，令f′(x)＜0得0＜x.故f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，+∞)，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上为减函数，当a>0时，f(x)在(0，)上为减函数，在(，+∞)为增函数；（2）∵g(x)＝(1﹣x)ex，∴g′(x)＝﹣xex，当x∈[﹣1，0)时，g′(x)>0，当x∈(0，1]时，g′(x)<0，又g(0)＝1，g(1)＝0，g(﹣1)，∴当x∈[﹣1，1]时，g(x)的值域为[0，1]，由（1）可知，①当a≤0时，函数f(x)在(0，e]上为减函数，不满足题意；②当e，即0＜a时，函数f(x)在(0，e]上为减函数，不满足题意；③当0e时，即a时，函数f(x)在区间(0，)上为减函数，在(，e]上为增函数，又x＞0，且x→0时，f(x)→+∞，函数f(x)的大概图像如下图，故对任意给定的x0∈[﹣1，1]，在区间(0，e]上总存在两个不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，当且仅当a满足以下条件，即（*）令h(a)＝1﹣a+lna，a∈(，+∞)，则h′(a)＝﹣1，当a＜1时，h′(a)＞0，当a＞1时，h′(a)＜