山东省临沂市郯城县重坊镇中心中学高三数学文测试题含解析

山东省临沂市郯城县重坊镇中心中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a>0且a≠1，若函数f（x）=loga（ax2–x）在[3，4]是增函数，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.集合，则等于（）参考答案：B考察对数函数值域的求法及集合运算。，，故选B3.某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）A.10 B.9 C.8 D.7参考答案：B【分析】由题，先根据正态分布的公式求得分数在115以上的概率，即可求得人数.【详解】∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，∵P（95≤ξ≤105）=0.32，∴P（ξ≥115）=（1-0.64）=0.18，∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9故选：B．【点睛】本题考查了正态分布，熟悉正态分布的性质是解题的关键，属于基础题.4.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x，那么f﹣1（﹣9）的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3参考答案：A【考点】反函数；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】设f﹣1（﹣9）=x，则f（x）=﹣9，再利用奇函数的性质即可得出．【解答】解：设f﹣1（﹣9）=x，则f（x）=﹣9，设x＞0，则﹣x＜0．∵当x＜0时，f（x）=（）x，∴f（﹣x）==3x．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣3x．∴﹣3x=﹣9，故：x=2．【点评】本题考查了奇函数的性质、反函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．5.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为（

）参考答案：B略6.若a,b,c均为单位向量，a·b，c=xa+yb，则的最大值是(

)A．

B.

C．

D.参考答案：A7.化简A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.若函数y=f(x)图象上的任意一点p的坐标(x,y)满足条件|x|≥｜y｜,则称函数具有性质S,那么下列函数中具有性质S的是(

)(A).－1

(B).f(x)=lnx(C).f(x)=sinx

(D).f(x)=tanx参考答案：不等式表示的平面区域如图所示，函数具有性质，则函数图像必须完全分布在阴影区域①和②部分，分布在区域①和③内，分布在区域②和④内，图像分布

在区域①和②内，在每个区域都有图像，故选.9.设抛物线的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为5，则等于（

）．A.4 B.6 C.8 D.10参考答案：C【分析】先由抛物线方程得到，再由抛物线定义，即可求出结果.【详解】解：因为抛物线方程，所以，由抛物线的定义可得：．故选．【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到焦点距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础题型.10.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1——160编号。按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，……153—160号），若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是________。参考答案：6

略12.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（

）A. B. C. D.参考答案：C由三视图可得，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为，因此。故选C。13.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是________．参考答案：1/2略14.已知圆的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为,则直线截圆所得的弦长是

.参考答案：圆的参数方程化为平面直角坐标方程为，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，如右图所示，圆心到直线的距离，故圆截直线所得的弦长为15.已知，则的最小值是

.参考答案：【答案解析】-4

解析：画出可行域，平移目标函数为0的直线y=2x，得目标函数取得最小值的最优解是直线x+y+2=0与直线x-3y+2=0的交点A(-2，0),所以目标函数的最小值为：.【思路点拨】画出可行域，平移目标函数为0的直线y=2x，得目标函数取得最小值的最优解是方程组的解，所以目标函数的最小值为-4.16.直线y=kx+3（k≠0）与圆x2+y2﹣6x﹣4y+9=0相交于A、B两点，若|AB|=2，则k的值是．参考答案：

【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长，解此方程求出k的取值即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣4y+9=0化为：圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4圆心坐标（3，2），半径为2，因为直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，，由弦长公式得，圆心到直线的距离等于1，即=1，8k（k+）=0，解得k=0(舍去)或k=﹣，故答案为：．【点评】本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用．考查计算能力．17.北京2008奥运会组委会要在学生比例为的、、三所高校中，用分层抽样方法抽取名志愿者，若在高校恰好抽出了名志愿者，那么__________.参考答案：300三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、.已知向量，，且．（1）

求的值；（2）若，求△ABC的面积S．参考答案：19.（15分）已知函数，其中常数。（1）若在处取得极值，求的值；（2）求的单调递增区间；（3）已知表示的导数，若，且满足：，试比较与的大小，并加以证明。（提示：）参考答案：（1），可得又在处取得极值，故且，可得经检验，时，在处取得极值。故（2）由（1）知，①当时，，故在内单调递增；②当时，，解得或。所以在和内单调递增③当时，，解得或。所以在和内单调递增（3）。证明如下：设，且则因为，有且，所以故，即在内单调递减，从而在内单调递减依题意，不妨设，又，，所以且由得，所以考查函数，则，故在内单调递增。又因为，所以，即，从而20.如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB的中点，OF⊥EC．（Ⅰ）求证：OE⊥FC：（Ⅱ）若=时，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OF，进而得到OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC．（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】（Ⅰ）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．

又∵平面ABC⊥平面ABEF，故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，∴OF⊥OE，又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，∴OE⊥FC；（Ⅱ）解：由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2，∵=，∴AC=，则OC=建立以O为坐标原点，OC，OB，OD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则F（0，﹣1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（，0，0），则=（﹣，1，1），=（0，﹣2，0），设平面FCE的法向量为=（x，y，z），则．∴=（1，0，），∵=（0，0，1），=（，﹣1，0），∴同理可得平面CEB的法向量为=（1，，0），∴cos＜，＞==，∵二面角F﹣CE﹣B是钝二面角，∴二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣．21.已知在△ABC中，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求sinA·sinB的最大值．参考答案：（Ⅰ）由余弦定理及题设，得．由正弦定理，，得．

……………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．