福建省漳州市月示中学高三数学理上学期摸底试题含解析

福建省漳州市月示中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.已知,且,则的最小值为_____________.参考答案：3.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=(

) A．27 B．81 C．243 D．729参考答案：C考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比q，代入等比数列的通项公式可求a6解答： 解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选C点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和公式及通项公式，属基础题．4.若集合，则A∩B=（）A．[1，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1）参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={y|y=}={y|y∈R}=（﹣∞，+∞），B={x|y=ln（x﹣1）}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}=（1，+∞）；∴A∩B=（1，+∞）．故选：C．5.（5分）一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（） A． B． C． D． 参考答案：D考点： 两点间的距离公式．专题： 计算题．分析： 求出P关于平面xoy的对称点的M坐标，然后求出MQ的距离即可．解答： 解：点P（1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（1，1，﹣1），一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：=．故选D．点评： 本题考查点关于平面对称点的求法，两点的距离公式的应用，考查计算能力．6.双曲线的左、右焦点分别为，。若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟运行即可．【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．8.已知a=logπ3，b=20.5，，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】利用对数函数与指数函数的性质，将a、b、c与0与1进行比较即可．【解答】解：∵0＜a=logπ3＜1，b=20.5＞1，c=＜0，∴b＞a＞c．故选B．【点评】本题考查对数值大小的比较，着重考查对数函数与指数函数的性质，属于基础题．9.已知函数的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，则函数的单调增区间为（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：D【分析】由题意得出的解析式，利用三角函数的性质得出其单调增区间可得答案.【详解】解：由题意得：对称中心为，可得b=0，图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，可得，，，可得将代入可得，可得，且，，可得，令，可得，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性及的性质，得出函数的解析式是解题的关键.10.设复数，则复数z的虚部为（

）A.7 B.－7 C.22 D.－22参考答案：A【分析】利用复数的乘法运算化简复数，即可得答案.【详解】∵，∴复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数虚部的概念，考查运算求解能力和对概念的理解，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数图象的一条对称轴是直线，则__________。参考答案：12.已知函数则=_____．参考答案：13.已知关于x的方程（t+1）cosx﹣tsinx=t+2在（0，π）上有实根．则实数t的最大值是

．参考答案：-1【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】分离参数可得t=，利用导数判断右侧函数的单调性求出最大值即可．【解答】解：∵（t+1）cosx﹣tsinx=t+2，∴t=，令f（x）=，则f′（x）==，令g（x）=sinx+2cosx﹣1，则g′（x）=cosx﹣2sinx，∴当x=arctan时，g′（x）=0，当0＜x＜arctan时，g′（x）＞0，当arctan＜x＜π时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，arctan）上单调递增，在（arctan，π）上单调递减，又g（0）=1，g（π）=﹣3，∴g（x）在（0，π）上只有一个零点，又g′（）=0，∴当0＜x＜时，g（x）＞0，当＜x＜π时，g（x）＜0，∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当＜x＜π时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，0）上单调递减，∴当x=时，f（x）取得最大值f（）=﹣1．∴t的最大值为﹣1．故答案为﹣1．14.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是

．参考答案：略15.已知函数其导函数记为f′(x)，则f(2014)＋(2014)＋f(－2014)－(－2014)＝________.参考答案：2略16.平行四边形ABCD中，△ABD是腰长为2的等腰直角三角形，，现将△ABD沿BD折起，使二面角大小为，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为_____.参考答案：20π【分析】取AD,BC的中点分别为,过作面ABD的垂线与过作面BCD的垂线，确定球心的位置，再取BD中点E，连结,得到即为二面角的平面角，在Rt△和在Rt△中，求得的球的半径，即可求解．【详解】由题意，取AD,BC的中点分别为,过作面ABD的垂线与过作面BCD的垂线，两垂线交点即为所求外接球的球心，取BD中点E，连结,则即为二面角的平面角，又由，连接，在Rt△中，则，在Rt△中，，得，即球半径为，所以球面积为.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及几何体的结构特征、二面角的应用，其中解答中熟练应用几何体的结构特征，以及二面角的定义求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．17.如图所示是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|≤，ω＞0）的一段图象，则f（）=．参考答案：1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象得到函数周期，利用周期公式求得ω，由五点作图的第一点求得φ的值，从而可求函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可求值得解．【解答】解：∵由图可知，T=﹣（﹣）=π．∴ω===2；∵由五点作图第一点知，2×（﹣）+φ=0，得φ=．∴y=2sin（2x+），∴f（）=2sin（2×+）=2sin=1．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：印刷册数（千册）23458单册成本（元）3.22.421.91.7根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：=，方程乙：=．（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．①完成下表（计算结果精确到0.1）；印刷册数x（千册）23458单册成本y（元）3.22.421.91.7模型甲估计值

2.42.1

1.6残差

0﹣0.1

0.1模型乙估计值

2.321.9

残差

0.100

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BP：回归分析．【分析】（1）①计算对应的数值，填表即可；②计算模型甲、模型乙的残差平方和，比较即可得出结论；（2）计算二次印刷时的成本和利润，求出数学期望（均值），即可得出结论．【解答】解：（1）①经计算，可得下表：印刷册数x（千册）23458单册成本y（元）3.22.421.91.7模型甲估计值3.12.42.11.91.6残差0.10﹣0.100.1模型乙估计值3.22.321.91.7残差00.1000②模型甲的残差平方和Q1=0.12+（﹣0.1）2+0.12=0.03，模型乙的残差平方和Q2=0.12=0.01，∴Q1＞Q2，模型乙的拟合效果更好；（2）若二次印刷8千册，则印刷厂获利为（5﹣1.7）×8000=26400（元），若二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为（元）故印刷总成本为16640（元），设新需求量为X（千册），印刷厂利润为Y（元），则X810Y0.80.2EX=8×0.8+10×0.2=8.4，故EY=5×1000×EX﹣16640=42000﹣16640=25360，故印刷8千册对印刷厂更有利．19.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某学校举办一场以“为希望工程献爱心”为主题的图书义卖活动，同学甲随机地从10本书中买两本，假设每本书被甲同学买走的概率相同，已知这10本书中有3本单价定为10元，4本单价定为15元，3本单价定为20元，记甲同学买这两本书所付金额为（元）．求：（1）随机变量的分布列；（2）随机变量的期望和方差．参考答案：解：（1）的所有可能值为，，，，．

，，

，

……5分∴随机变化的概率分布为2025303540

……6分（2）

……10分

……14分略20.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC，BC=2AD，AC，Q是线段PB的中点.（I）求证：平面PAC；（II）求证：AQ//平面PCD.参考答案：证明：（Ⅰ）因为平面，平面所以,

…………………2分又因为，，平面，,所以平面

…………………3分又因为平面，平面，所以

…………………4分因为，，平面，,所以平面

………6分（Ⅱ）方法一:取中点,连接、.因为是线段的中点，是的中点，

所以∥,………8分

因为∥,所以∥,

所以四边形是平行四边形，………………9分所以∥,

………………10分因为∥,平面,平面

所以∥平面.

…………12分方法二:取的中点,连接、.因为所以

又∥，所以

四边形是平行四边形，

所以∥

因为平面,平面,所以∥平面……………8分

因为，分别是线段，的中点，所以∥，所以∥平面

……………10分

因为，所以平面∥平面

……11分因为平面，所以∥平面.

………12分略21.等差数列中，，公差，且它的第