河南省许昌市实验中学高三数学理上学期摸底试题含解析

河南省许昌市实验中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为

A．4

B．8

C．16

D．32参考答案：D略2.若集合是函数的定义域，是函数的定义域，则等于(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A3.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则甲、乙两人得分的中位数之和是（

）A．62 B．63 C．64 D．65参考答案：B4.已知等差数列的前项的和为，且满足，则一定有（

）A.是常数

B.是常数

C.是常数

D.是常数参考答案：D5.在平行四边形ABCD中，等于---------------------（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5

B．10C．15

D．20参考答案：B7.已知都是负实数，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B

【知识点】函数的最值及其几何意义．B3直接通分相加得，因为都是负实数，所以都为正实数，那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值，最小值为为，分母有最小值，即有最大值，那么可得最小值，最小值：，故选B．【思路点拨】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值．8.已知两点，，点在曲线上运动，则AB·AC的最小值为A．2

B．

C．－2

D．参考答案：D9.球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（

）A．

B．

C．

D．4参考答案：A考点：几何体的外接球等有关知识的运用.【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型,也高考和各级各类考试的难点内容.本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先确定球心的位置是三角形的外心,再求外接球的半径并确定当为三棱锥的高时,该三棱锥的体积最大并算出其最大值为.10.已知且关于x的函数在R上有极值，则与的夹角范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

。

参考答案：本题考查极限的计算，难度较小..12.投掷红、蓝两颗均匀的骰子，观察出现的点数，至多一颗骰子出现偶数点的概率是_____。参考答案：

解析：其对立事件为都出现奇数点，13.执行右边的程序框图，则输出的结果是___________参考答案：10略14.已知数列为等差数列，若，且它们的前n项和有最大值，则使的最大值为

参考答案：1115.=

。参考答案：

16.阅读右侧程序框图，则输出的数据为__________．参考答案：易知执行结果．17.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图17－3)．根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．参考答案：600三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X0-678910Y00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率；(Ⅱ)求分布列；(Ⅲ)求的数学期望.参考答案：解析：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为；(Ⅱ)

的可能取值为7、8、9、10

分布列为78910P0.040.210.390.36(Ⅲ)的数学期望为.19.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a>0)，且a3是6a1与a2的等差中项．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）an的通项公式为an＝2n.（2）Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.20.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F（，）的距离与到定直线l1：x+y+=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转45°形成的．（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l2交曲线C2于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若=λ，证明：⊥（﹣λ）．参考答案：考点：轨迹方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P（x，y），根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式，建立关于x、y的方程并化简整理，即可得到曲线C1的方程．分别取x=0和y=0解出曲线C1在轴上的截距，即可曲线C1与坐标轴的各交点的坐标．再由曲线是以F（，）为焦点，直线l1：x+y+=0为准线的抛物线，将其顺时针方向旋转45°得到的抛物线焦点为（1，0），准线为x=﹣1，可得曲线C2的方程是y2=4x；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l2的方程为y=k（x﹣m），与抛物线y2=4x消去x，得y2﹣y﹣4m=0，可得y1y2=﹣4m．设N（﹣m，0），由=λ算出λ=，结合向量坐标运算公式得到﹣λ关于x1、x2、λ和m的坐标式，代入?（﹣λ）并化简，整理可得?（﹣λ）=0，从而得到对任意的λ满足=λ，都有⊥（﹣λ）．解答：解（1）设P（x，y），由题意知曲线C1为抛物线，并且有=，化简得抛物线C1的方程为：x2+y2﹣2xy﹣4x﹣4y=0．令x=0，得y=0或y=4；再令y=0，得x=0或x=4，所以，曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4）和（4，0）．点F（，）到l1：x+y+=0的距离为=2，所以C2是以（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，设直线l2的方程为y=k（x﹣m），代入y2=4x得y2﹣y﹣4m=0，可得y1y2=﹣4m．由=λ，得（m﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣m，y2），可得λ=，而N（﹣m，0），可得﹣λ=（x1+m，y1）﹣λ（x2+m，y2）=（x1﹣λx2+（1﹣λ）m，y1﹣λy2）∵=（2m，0），∴?（﹣λ）=2m[x1﹣λx2+（1﹣λ）m]=2m[+﹣+（1+）m]=2m（y1+y2）?=2m（y1+y2）?=0∴对任意的λ满足=λ，都有⊥（﹣λ）．点评：本题给出动点的轨迹，求轨迹对应的方程并讨论由曲线产生的向量互相垂直的问题，着重考查了点到直线的距离公式、平面内两点的距离公式、一元二次方程根与系数的关系和平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中档题．21.已知函数f（x）=（x+）ex，a∈R．（1）若f′（﹣1）=0求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求函数f（x）=（x+）ex的定义域，当f′（﹣1）=0时，a=1，f（x）=xex，f′（x）=（x+1）ex，从而由导数的几何意义写出切线方程即可；（2）先求导f′（x）；再设h（x）=x3+x2+（a﹣1）x﹣（a﹣1），h′（x）=3x2+2x+a﹣1，故由导数知分a＞1，a=1与a＜1分别讨论即可．【解答】解：函数f（x）=（x+）ex的定义域为{x|x≠0}，f′（x）=ex；（1）当f′（﹣1）=0时，a=1，f（x）=xex，f′（x）=（x+1）ex，所以f（1）=e，f′（1）=2e；所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣e=2e（x﹣1），即2ex﹣y﹣e=0；（3）f′（x）=ex；设h（x）=x3+x2+（a﹣1）x﹣（a﹣1），h′（x）=3x2+2x+a﹣1，①当a＞1时，h′（x）＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上为增函数；而h（0）=﹣a+1＜0，h（1）=2＞0，故函数h（x）在（0，1）上有且只有一个零点，故这个零点为函数f（x）在区间（0，1）上的唯一的极小值点；②当a=1时，x∈（0，1）时，h′（x）=3x2+2x＞0，故h（x）在（0，1）上为增函数，又h（0）=0，故f（x）在（0，1）上为增函数；故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；③当a＜1时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1）﹣（a﹣1），当x∈（0，1）时，总有h（x）＞0成立，即f（x）在（0，1）上为增函数；故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值．综上所述，a＞1．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题．22.（本题14分）设曲线：，表示的导函数。（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）数列满足，求证：数列中的任意三项都不能构成等差数列；（Ⅲ）对于曲线上的不同两点，是否存在唯一，使直线的斜率等于？证明的结论。参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，令，得，………2分当时，，所以递增；当时，，所以递减。所以，当时有极大值，无极小值。……