山东省聊城市第二高级中学高三数学理月考试题含解析

山东省聊城市第二高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设f(x)＝，则不等式f(x)＜2的解集为(

)A．(，＋∞)

B．(－∞，1)∪[2，)C．(1,2]∪(，＋∞)

D．(1，)参考答案：B略2.已知，是虚数单位，则（

）A．1

B．

C．

D．2参考答案：B略3.设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC中点，则的值为(

)A． B． C．1 D．2参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．【解答】解：如图所示，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴==（+）；又∵++=，∴=﹣（+）=﹣3；∴==．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，解题的关键是画出平行四边形MAEC，得出与的关系．4.（09年聊城一模理）已知（其中为虚数单位），，则以下关系中正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B5.的递增区间是

（

）

A．

B． C．

D．参考答案：答案：A6.已知数列{}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（3，a3），Q（4，a4）的直线的斜率是

A．

B．4

C．-4

D．-143参考答案：B7.若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有(

)

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B略8.一个容量为200的样本，数据的分组与几个组的频数如下表：组号12345频数455564x12

则样本的第4组的频率为 （

） A．0.12 B．0.24 C．0.275 D．0.32参考答案：A略9.已知命题；命题:在曲线上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是A．是假命题

B．是真命题C．是真命题

D．是真命题参考答案：C略10.若复数满足(其中为虚数单位)，则复数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的等差数列{an}及任意的正整数n都有不等式+≥λa成立，则实数λ的最大值为．参考答案：略12.已知P是抛物线M：y2=4x上的任意点，过点P作圆C：（x﹣3）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，连CA，CB，则四边形PACB的面积最小值时，点P的坐标为

．参考答案：（1，2）或（1，﹣2）【考点】抛物线的简单性质．【分析】由圆的方程为求得圆心C（3，0）、半径r为：1，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，利用距离公式，结合配方法，即可得出结论．．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．设P（x，y），则PC==，∴x=1时，圆心与点P的距离最小，x=1时，y=±2，∴P（1，2）或P（1，﹣2）．故答案为：（1，2）或（1，﹣2）．13.函数f（x）=的单调递增区间是

．参考答案：（0，e）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的导数为y′的解析式，令y′＞0求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．【解答】解：由于函数的导数为y′=，令y′＞0可得lnx＜1，解得0＜x＜e，故函数的单调递增区间是（0，e），故答案为：（0，e）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．14.若（k，a∈R）为幂函数，且f（x）的图象过点（2，1），则k+a的值为．参考答案：1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义，先求出k的值，通过待定系数法求出α的值即可．【解答】解：若（k，a∈R）为幂函数，则k=1，f（x）=，把（2，1）代入函数的解析式得：=1，∴﹣=0，解得α=0，则k+a的值1，故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题．15.函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和等于______．参考答案：1216.已知，，则__________．参考答案：317.O﹣xyz坐标系内xoy平面内0≤y≤2﹣x2绕y轴旋转一周构成一个不透光立体，在（1，0，1）设置一光源，在xoy平面内有一以原点为圆心C被光照到的长度为2π，则曲线C上未被照到的长度为．参考答案：2π（r﹣1）【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据题意所研究的是过光源点的抛物面的切面在xoy平面中与圆的交线所构成平面几何图形的问题．【解答】解：如图所示；由x2+z2=2﹣y知，抛物面y=2﹣x2﹣z2，y对x求偏导数得=﹣2x，得l1：；y对z求偏导数得=﹣2z，得l2：；取（0，2，1），（1，2，0），（1，0，1），设切面ax+by+cz+d=0，则，得切面2x+y+2z﹣4=0，故交线为2x+y﹣4=0；由d=，得，可解得r的值；所以l=2π（r﹣1）．故答案为：l=2π（r﹣1）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R，=．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将（﹣，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由=，根据函数零点的判断即可存在k∈R，=．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率e===，则a2=2b2，将点（﹣，）代入椭圆方程，解得：a2=4，b2=2，∴椭圆的标准方程为：，（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得=，由a2=2b2，椭圆方程为：，将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0，解得：xP=﹣，则丨BP丨=×，由BP⊥BQ，则丨BQ丨=×丨丨=?，由=．，则2×=?，整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0，∴函数f（x）存在零点，∴存在k∈R，=．【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．19.（本小题满分12分）在△ABC中，A、B、C为三个内角，a、b、c为相应的三条边，＜C＜，且＝．（1）判断△ABC的形状；（2）若｜＋｜＝2，求·的取值范围．参考答案：（1）由及正弦定理，有20.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值．参考答案：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则

……………2分解得，，

……………4分所以，．

……………6分（2）由（1）得，故，……………7分当为奇数时，，随的增大而减小，所以；…………8分当为偶数时，，随的增大而增大，所以，………9分令，，则，故在时是增函数．故当为奇数时，；

……………10分当为偶数时，，

……11分综上所述，的最大值是，最小值是．

……12分21.（本题13分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值。设函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（1）若曲线上的点P到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点。参考答案：（Ⅰ）（1）设，则；

又的图像与直线平行

又在取极小值，

，

，

；

，

设

则

；w.w.w.k.s.5.u.c.o