北京第一三〇中学高三数学理知识点试题含解析

北京第一三〇中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.函数y=f（x）的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式f（x）＜f（﹣x）+2x的解集为（） A． B． C． D． 参考答案：考点： 其他不等式的解法．专题： 计算题；转化思想．分析： 根据图象得知是奇函数，据此将“不等式f（x）＜f（﹣x）+2x”转化为“f（x）＜x”，再令y=f（x），y=x，利用图象求解．解答： 解：如图所示：函数是奇函数∴不等式f（x）＜f（﹣x）+2x可转化为：f（x）＜x，令y=f（x），y=x如图所示：故选A．点评： 本题主要考查利用函数图象的相对位置关系来解不等式，关键是转化为特定的基本函数，能画其图象．3.设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?PC．?x0?Q，使得x0∈P D．?x0∈P，使得x0?P参考答案：B【考点】2I：特称命题．【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．【解答】解：∵P∩Q=P，∴P?Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系．4.设集合，，则MN=（

）

A．{}

B．{}

C．{}

D．{}参考答案：A略5.的展开式中不含项的系数的和为（

）A.33 B.32 C.31 D.－1参考答案：A令，得所有项的系数和为，又由通项公式，其中可取.，，，，，令，得，所以不含项的系数的和为.试题立意：本小题考查二项式定理及其求展开式系数等基础知识；考查运算求解能力.6.已知集合，则（

）

B.

参考答案：A略7.如下图，将半径为l的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部分）．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：A8.设，，则“”是“”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略9.已知全集，则集合{1，6}=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.如图，与圆相切于点，直线交圆于两点，弦垂直

于．则下面结论中，错误的结论是（

）A．∽

B．

C． D．参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是

．参考答案：a＞0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】由曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，故f′（x）=0有实数解，运用参数分离，根据函数的定义域即可解出a的取值范围．【解答】解：∵曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，（x＞0）∴f′（x）=2ax﹣=0有解，即得a=有解，∵x＞0，∴＞0，即a＞0．∴实数a的取值范围是a＞0．故答案为：a＞0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．12.已知直线与圆相交于A，B两点（C为圆心），且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________.参考答案：【分析】根据三角形为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离等于半径的，由此列方程，解方程求得的值.【详解】由于三角形为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的.直线的一般方程为，圆的方程为，圆心为，半径为.故，解得.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.13.已知函数若有则的取值范围为

．参考答案：略14.设常数展开式中的系数为，则

。参考答案：0.5略15.已知等差数列{},满足,则此数列的前项的和

.参考答案：3516.在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且，，若点N在线段CD上，则的取值范围是______.参考答案：17.曲线在点处的切线与直线垂直，则

．参考答案：1由x2=4y得，y=，则，∴在点P（m，n）处的切线斜率k=，∵曲线x2=4y在点P（m，n）处的切线与直线2x+y﹣1=0垂直，∴×（﹣2）=﹣1，解得m=1，故答案为：1．【考查方向】本题考查导数的几何意义：在切点处的斜率就是该点处的导数值，以及直线垂直的条件，属于基础题．【易错点】导数的几何意义，直线垂直关系的条件。【解题思路】由x2=4y得y=，求出函数的导数，根据题意和导数的几何意义列出方程求出m的值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知(1)讨论函数的单调性;(2)证明:当，且时，恒成立.参考答案：（1）见解析（2）见解析分析：(1)求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）可知当时，在上单调减，再令，证明，即可得到所要证明的结论.详解：（1），当时，的增区间，无减区间当时，增区间，减区间（2）当由（1）可知当时，在上单调减，再令在上，，递增，所以所以恒成立，当时取等号，所以，原不等式恒成立.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．19.（12分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。参考答案：（1）设椭圆方程为，则依题意有，，得到：，所以椭圆方程为。………………4分（2）依题意，设直线的方程为，它与OA相距4,可以得到。[………………8分科.另一方面，联立，若直线与椭圆有交点，则，得到：，因为，所以不存在这样的直线满足题目要求。………………12分略20.已知函数．（1）求f（x）的最小正周期和值域；（2）若x=x0为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．参考答案：解：（1）易得===，所以f（x）周期π，值域为；（2）由，得，又由得，所以，故，此时，===略21.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？参考答案：【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=10