湖北省恩施市团堡镇中学高三数学理模拟试题含解析

湖北省恩施市团堡镇中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题p“函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3）在（1，+∞）上单调递增”，命题q“函数f（x）=ax+1﹣1的图象恒过（0，0）点”，则下列命题正确的是（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（?q） D．（?p）∨q参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】先判断两个简单命题的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表得到答案．【解答】解：函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3）的定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故命题p“函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3）在（1，+∞）上单调递增”，为假命题；令x+1=0，则x=﹣1，ax+1﹣1=0，故函数f（x）=ax+1﹣1的图象恒过（﹣1，0）点，故命题q“函数f（x）=ax+1﹣1的图象恒过（0，0）点”，为假命题；则p∧q，p∨q，p∧（?q）均为假命题；（?p）∨q为真命题，故选：D．2.设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和公式和倍角公式对a，b，c分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后利用正弦函数的单调性求得答案．【解答】解：a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin（40°+127°）=sin167°=sin13，b=（sin56°﹣cos56°）=sin56°﹣cos56°=sin（56°﹣45°）=sin11°，=cos239°﹣sin239°=cos78°=sin12°，∵sin13°＞sin12°＞sin11°，∴a＞c＞b．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和公式，二倍角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．3.命题，则A． B．C． D．参考答案：D略4.对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(

)A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞） C．[﹣2，2] D．[0，+∞）参考答案：B【考点】基本不等式；函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x=0时，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥﹣（|x|+）恒成立，故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．再利用基本不等式求得（|x|+）得最大值，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：当x=0时，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥=﹣（|x|+），故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．由基本不等式可得（|x|+）≥2，∴﹣（|x|+）≥﹣2，即﹣（|x|+）的最大值为﹣2，故实数a的取值范围是[﹣2，+∞），故选B．【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.设,则“且”是“且”的(

)A．充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：Ａ6.将函数图像上所有点向左平移个单位，再将各点横坐标缩短为原来的倍，得到函数f(x)，则A．f(x)在单调递减

B．f(x)在单调递减C．f(x)在单调递增

D．f(x)在单调递增参考答案：A7.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(

) A B C D参考答案：A8.若，则（

）A．且 B．且C．且 D．且参考答案：A根据二项分布的期望与方差的公式，即可得，故选A．

9.如右图，将两个全等的的直角三角形和直角三角形拼在一起组成平面四边形，若，则分别等于A．

B．

C．

D．参考答案：D10.设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）?y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0?c=a．法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0?b＞0?f（﹣1）＜0，不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1?b＞2a?f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．故选：D．【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系内，由曲线，和x轴正半轴所围成的封闭图形的面积为____.参考答案：【分析】首先计算曲线，的交点为，过作轴于，将面积分为两部分，分别求面积相加得到答案.【详解】易知曲线，交点为过作轴于，将面积分为两部分则面积故答案为【点睛】本题考查了定积分的两种计算方式：公式法和几何法，意在考查学生的计算能力.12.假设垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出，现有下面四个条件：1234AC//EF其中能成为增加条件的是

（把你认为正确的条件序号都填上）参考答案：1313.已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为

．参考答案：3【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．【解答】解：∵f′（x）=a（1+lnx），f′（1）=3，∴a（1+ln1）=3，解得a=3，故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．14.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<的x的取值范围是________．参考答案：15.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，但由于不慎丢失了部分数据．已知得分在的有人，在的有2人，由此推测频率分布直方图中的

．参考答案：考点：频率分布表与直方图

故答案为：16.的值是____________。参考答案：.4

略17.已知，点的坐标为，点分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，，则的周长的取值范围是＿＿＿＿参考答案：(4,6)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大值；（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）当时，，则。依题意得：，即

解得…2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①

当时，，令得…….3分当变化时，的变化情况如下表：0—0+0—

单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………4分又，，。∴在上的最大值为2…………5分②

当时,.当时,,最大值为0；当时,在上单调递增。∴在最大值为。………6分综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；当时，即时，在区间上的最大值为。…7分（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。不妨设，则，显然∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴即

（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.若，则代入（*）式得：即，而此方程无解，因此。此时，代入（*）式得：

即

（**）令

，则∴在上单调递增，

∵

∴,∴的取值范围是。∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。……………..14分

略19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，CD⊥DA1，AC⊥BC，∠ABB1=45°，AC=BC=BB1=2．（1）证明：B1D⊥BD；（2）求点A到平面A1CD的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出BD=BA=，从而∠B1BD=90°，由此能证明B1D⊥BD．（2）推导出CD⊥平面ABB1A，从而平面CDA1⊥平面ABB1A，过A作AE⊥DA1于E，则AE⊥平面A1DC，AE即为点A到平面A1CD的距离，由此利用等面积法能求出点A到平面A1CD的距离．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，CD⊥DA1，AC⊥BC，∠ABB1=45°，AC=BC=BB1=2．∴BD=BA=，…又BB1=2，且∠B1BD=45°，∴∠B1BD=90°，∴B1D⊥BD．…解：（2）∵CD⊥BA，CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A，∴平面CDA1⊥平面ABB1A，…过A作AE⊥DA1于E，则AE⊥平面A1DC，∴AE即为点A到平面A1CD的距离，…A1D==，故在△ADA1中，由等面积法得AE==．…20.某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（Ⅰ）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可得出．（2）（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布列的计算公式及其数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为．所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.，，，．所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123P．【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.(本题12分)数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;(3)设(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有成立？若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.注：本题文科生只做前（1）（2)，理科生做（1）（2）（3）参考答案：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，d==－2,∴an=10－2n.(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，故Sn=(3)bn=；要使Tn＞总成立，需＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7.22.已知，函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求