两因素及多因素方差分析

关于两因素及多因素方差分析本章内容9.1两因素方差分析中的基本概念9.2固定模型9.3随机模型9.4混合模型9.5两个以上因素的方差分析9.6缺失数据的估计9.7变换第2页,共70页，2024年2月25日，星期天9.1两因素方差分析中的基本概念9.1.1模型类型交叉分组设计(crossoverdesign)：假设A药物有a水平，B药物有b水平，有ab个剂量混合，每组重复n次。共有abn名病人参加实验。对于两因素交叉分组设计的实验要采用两因素方差分析固定模型：两因素实验中，两个因素都是固定因素时；随机模型：两因素实验中，两个因素都是随机因素时；混合模型：两因素实验中，一个因素是固定因素，另一个是随机因素时。第3页,共70页，2024年2月25日，星期天9.1.2主效应与交互作用主效应(maineffect):因素水平的改变造成因素效应的改变，称该因素的主效应。A1A2B11824B23844A因素的主效应为(24+44)/2-(18+38)/2=6第4页,共70页，2024年2月25日，星期天9.1.2主效应与交互作用9.1.2主效应与交互作用交互作用(interaction):某一因素在另一因素不同水平上产生的效应不同，则两因素间存在交互作用。A1A2B11828B23844交互作用的大小用A1B1+A2B2-A1B2-A2B1来估计A(在B1的水平上)=A2B1-A1B1A(在B2的水平上)=A2B2-A1B2第5页,共70页，2024年2月25日，星期天当A、B间不存在交互作用时，从B1变化到B2不以A水平的变化而改变，所以B1-B1，B2-B2两线平行(图9-1a);当存在交互作用时，A的效应依B的水平而不同，所以B1-B1，B2-B2

两线不平行(图9-1b)。第6页,共70页，2024年2月25日，星期天9.1.3两因素交叉分组实验设计的一般格式两因素实验的典型设计：假定A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复有ab次实验，设试验重复n次，则试验总次数为abn。数据以表9-1的形式出现。第7页,共70页，2024年2月25日，星期天第8页,共70页，2024年2月25日，星期天

表9-1中，xi..表示A因素第i水平的所有观测值的和；x.j.表示B因素第j水平的所有观测值的和；xij.表示A的第i和B的第j水平的所有观测值的和；x…表示所有观测值的和。第9页,共70页，2024年2月25日，星期天9.2固定模型9.2.1线性统计模型观测值可以用以下线性统计模型描述：其中

是总平均效应；

i是A因素第i水平的处理效应；βj是B因素第j水平的处理效应；(αβ)ij

是交互作用效应，

εijk为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)。

第10页,共70页，2024年2月25日，星期天两因素交叉分组设计中，固定模型方差分析的零假设为：

第11页,共70页，2024年2月25日，星期天9.2.2平方和与自由度的分解A因素引起的平方和SSA，B因素引起的平方和SSB，A、B交互作用引起的平方和SSAB及误差平方和分别是：第12页,共70页，2024年2月25日，星期天相应的自由度为：相应均方为：

第13页,共70页，2024年2月25日，星期天9.2.3均方期望与统计量F的确定第14页,共70页，2024年2月25日，星期天第15页,共70页，2024年2月25日，星期天9.2.4平方和的简易计算方法将(9.9)~(9.11)变形得：其中为校正项，用C表示。误差平方和是通过计算重复间平方和得到的。(9.13)可以改写为：

第16页,共70页，2024年2月25日，星期天交互作用平方和为：例9.1

第17页,共70页，2024年2月25日，星期天9.2.5无重复实验时的两因素方差分析观测值的线性模型：

Σαi=Σβj=0;第18页,共70页，2024年2月25日，星期天

例9.2第19页,共70页，2024年2月25日，星期天

9.2.6交互作用的判断(Tukey,1949)将残余项平方和(SST-SSA-SSB)分解为具有1自由度的非累加（交互作用）的成分和具(a-1)(b-1)-1自由度的误差成分：例9.3第20页,共70页，2024年2月25日，星期天9.2.7多重比较固定效应模型中，如果主效应显著，还应该在每一因素（例如A)的各水平的平均数之间做多重比较，仍然使用Duncan多范围检验；如果交互作用显著，则将B固定在某一水平，在该特定水平上，比较A因素各水平的平均数。例如，将例9.1中的A因素固定在第二种原料上，比较不同温度对产量的影响。将产量依次排序：第21页,共70页，2024年2月25日，星期天

如果考虑交互作用的话，就要比较全部ab次处理，才能得出哪些差异是显著的。这样比较的结果不仅包括主效应，而且包括交互作用。第22页,共70页，2024年2月25日，星期天9.3随机模型9.3.1线性统计模型随机模型的线性统计模型如下:

第23页,共70页，2024年2月25日，星期天9.3.2均方期望与统计量F的确定

方差分析与固定模型的分析一样，分别计算出SST，SSA，SSB，SSe。各均方的数学期望分别为：

从均方的数学期望可以看出，的检验统计量是：第24页,共70页，2024年2月25日，星期天第25页,共70页，2024年2月25日，星期天

随机分析模型的方差分析表：例9.4第26页,共70页，2024年2月25日，星期天9.4混合模型9.4.1线性统计模型

混合模型中，每一观测值xijk的线性统计模型为：其中αi是固定效应，βj是随机效应，交互作用(αβ)ij为随机效应。Σαi=0，βj是服从N(0，)的随机变量。交互作用效应是平均数为0，方差为正态随机变量。因为固定因素的全部交互作用效应之和为0，所以在固定因素的某个水平上，交互作用的成分不是独立的。第27页,共70页，2024年2月25日，星期天9.4.2均方期望与统计量F的确定第28页,共70页，2024年2月25日，星期天固定因素效应的估计为：例9.5第29页,共70页，2024年2月25日，星期天在随机模型和混合模型中，不设置重复，同样会有固定模型中的问题，即因素间的交互作用与实验误差无法区分，全部归于误差项。特别是在混和模型中，随机因素的个水平之间存在的差异，往往检查不出来，结果降低了实验的可靠性。因而，在条件允许的情况下，不论哪种模型，最好都设置重复。第30页,共70页，2024年2月25日，星期天9.5两个以上因素的方差分析9.5.1平方和与自由度分解的一般规律将两种方式分组的方差分析，扩展到一般情况。例如，在一个实验中，A因素有a水平，B因素有b水平，C因素有c水平，假设每一处理都有n次重复(n≥2)，那么总观测次数为abcn，线性统计模型为：第31页,共70页，2024年2月25日，星期天第32页,共70页，2024年2月25日，星期天自由度的分解：

dfA=a-1dfB=b-1dfC=c-1dfAB=(a-1)(b-1)dfAC=(a-1)(c-1)dfBC=(b-1)(c-1)dfABC=(a-1)(b-1)(c-1)dfe=abc(n-1)第33页,共70页，2024年2月25日，星期天9.5.2均方期望的表格化推演表格法推演均方期望有以下规定：1.线性统计模型中误差εijk的下标写为ε(ij)k，括号内的下标为死下标(deadsubscript);括号外的下表为活下标(livesubscript)。αi,βi，(αβ)ij中的下标都为活下标；2.固定模型中各因素的效应分别用该模型分量的平方和除以自由度表示；3.随机模型中各因素的效应分别用以希腊字母为下标的方差表示；4.混合模型中，交互作用的两个因素只要有一个是随机的，则交互作用是随机的，其方差分量记为σ2αβ；5.不论哪种模型，误差的方差一律极为σ2.第34页,共70页，2024年2月25日，星期天以固定模型为例，说明推演步骤：第35页,共70页，2024年2月25日，星期天第36页,共70页，2024年2月25日，星期天9.5.3统计量F的确定一般规律：为了得到检验某个因素或某个交互作用的统计量，在计算F时分子均方的组成比分母均方的组成仅多出欲检验的分量(固定因素)或方差分量(随机因素)，除此之外的其他成分应完全相同。以三因素交叉分组实验的方差分析为例，说明检验统计量的确定。线性统计模型为：第37页,共70页，2024年2月25日，星期天设A、C为固定因素，B为随机因素，构成混合模型，各均方期望由下表给出第38页,共70页，2024年2月25日，星期天交互作用的检验统计量分别为：三个主效应的检验统计量分别为：第39页,共70页，2024年2月25日，星期天9.6缺失数据的估计实验过程中，由于意外原因，使全部数据中的一个或两个缺失，又没有重做实验的可能性，可以采用补救。补救原则：补上缺失的数据以后，所得到的误差平方和最小。第40页,共70页，2024年2月25日，星期天9.6.1缺失一个数据设表9-13中x23是缺失的第41页,共70页，2024年2月25日，星期天

为了使SSe达到最小，令，则可以计算出x=2159.6.2缺失两个数据

设表9-14中缺失x23和x42，分别称为x和y。

第42页,共70页，2024年2月25日，星期天方程的解，即为x和y的值从而，x=213.55,y=366.05第43页,共70页，2024年2月25日，星期天9.6.3缺失数据资料的方差分析缺失数据的估计，可以使计算得以完成，但并不能提供更多的信息。因此，实验工作一定要认真操作，数据要仔细记录。由于缺失数据是估计值，当缺失一个数据时，总自由度和误差自由度都相应减1，但A、B两因素各自的自由度不变。同样，缺失两个数据时，总自由度和误差自由度都相应减2。如果缺失数据不是很多，对处理平均数之间的检验影响不大，在缺失数据估计出来之后，按照一般方法进行方差分析，只要将总自由度和误差自由度减去缺失数据个数即可。第44页,共70页，2024年2月25日，星期天9.7变换方差分析应该满足三个条件：可加性、正态性和方差齐性。数据变换的目的主要是满足方差齐性的要求，同时正态性和可加性都可以得到较好的满足。9.7.1平方根变换此法适用于各组均方与其平均数之间有某种比例关系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。转换的方法是求出原数据的平方根。第45页,共70页，2024年2月25日，星期天

若原观测值中有为0的数或多数观测值小于10，则把原数据变换成。对于稳定均方，使方差符合同质性的作用更加明显。变换也有利于满足效应可加性和正态性的要求。

9.7.2反正弦变换(arcsinetransformation)

反正弦转换也称角度转换。此法适用于服从二项分布的资料。转换的方法是求出每个原数据平方根的(用百分数或小数表示)的反正弦，转换后的数值是角度值。第46页,共70页，2024年2月25日，星期天9.7.3对数变换(logarithmictransformation)

如果各组数据的标准差与其平均数的平方大体成比例，或者效应为相乘性或非相加性，则将原数据变换为对数(lgx)后，可以使方差变成比较一致而且使效应由相乘性变成相加性。如果原数据包括有0，可以采用lg(x+1)变换的方法。第47页,共70页，2024年2月25日，星期天谢谢第48页,共70页，2024年2月25日，星期天例9.1为了从3中不同原料和3中不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到表9-3(P125)。在这个实验中，温度和原料均为固定因素。每一处理有4次重复。将表中的每一位数字减去30，列成表9-4.1。第49页,共70页，2024年2月25日，星期天利用xij.列，列成表9-4.2。由表9-4.1可以计算出第50页,共70页，2024年2月25日，星期天

由表9-4.2可以计算出第51页,共70页，2024年2月25日，星期天

列成方差分析表原料和温度在α=0.01水平上拒绝H0，交互作用在α=0.05水平上拒绝H0。因此，酒精的产量，不仅与原料及发酵温度有关，而且与两者的交互作用有关。第52页,共70页，2024年2月25日，星期天图9-2为原料与温度的交互作用，可以明显看出3条折线的非平行关系。在30ºC时，原料2的产量高于原料3，而当35ºC时原料2的产量反而低于原料3。因此，在选择因素的最优水平时，一定要考虑交互作用的影响。

第53页,共70页，2024年2月25日，星期天由于存在交互作用，在固定模型中，每一处理都应设置重复。重复之间的平方和为误差平方和。有了误差平方和，才能把交互作用从总平方和中分解出来。如果不设重复，所得到的残余项平方和，包括由误差及交互作用两部分所引起的平方和，σ2和η2αβ混杂在一起无法分开。因此在因素间存在交互作用时，不设重复是无意义的。▲第54页,共70页，2024年2月25日，星期天F1，8，0.05=5.32，F<F0.05。因此，没有充分根据说明数据见存在交互作用。

▲第55页,共70页，2024年2月25日，星期天例9.2题目及相关数据见P127

解密度和施肥量都是固定因素。根据经验，密度与施肥量之间不存在交互作用。将表9-6中每个xij减去700，列成表9-7。第56页,共70页，2024年2月25日，星期天第57页,共70页，2024年2月25日，星期天结论是，密度间的产量差异在α=0.05水平上显著；施肥量之间的差异在α=0.01的水平上显著。再经过多重比较，便可以从选定的水平中选出最佳密度和最佳施肥量。▲第58页,共70页，2024年2月25日，星期天例9.3判断例9.2中密度与施肥量是否存在交互作用。解根据表9-7中的数据，得代入9.23式，得

第59页,共70页，2024年2月25日，星期天F1，8，0.05=5.32，F<F0.05，所以，没有充分根据说明数据间存在交互作用。

▲第60页,共70页，2024年2月25日，星期天

例9.4为了研究施用不同数量的农家肥及不同农工的田间管理对作物产量的影响,设计了一个两因素实验,实验结果如下:第61页,共70页，2024年2月25日，星期天

解将表中每个数据减去9.5，列成表9-9.1：第62页,共70页，2024年2月25日，星期天

利用xij.列，列成表9-