几个常用函数的导数

关于几个常用函数的导数练习1、求函数y=f(x)=c的导数。因为所以第2页,共31页，2024年2月25日，星期天因为所以练习2、求函数y=f(x)=x的导数第3页,共31页，2024年2月25日，星期天探究？(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？在同一平面直角坐标系中，画出y=2x,y=3x,y=4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数。第4页,共31页，2024年2月25日，星期天因为所以练习3、求函数y=f(x)=x2的导数第5页,共31页，2024年2月25日，星期天你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。思考由函数y=x

，y=x2

，y=x3的导数为1，2x，3x2y'=3x2你猜测y=xn

导数是什么?y'=nxn-1第6页,共31页，2024年2月25日，星期天因为所以练习4、求函数y=f(x)=-的导数1x第7页,共31页，2024年2月25日，星期天探究？画出函数的图象。根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程。求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即第8页,共31页，2024年2月25日，星期天例1

y=|x|(x∈R)有没有导函数，试求之。解:(1)当x>0时，y=x,则y'=1(2)当x<0时，y=-x,不难求得y'=-1(3)当x=0时，y=0,求其导数如下：第9页,共31页，2024年2月25日，星期天当△x>0时，比值为1，从而极限为1当△x<0时，比值为-1，从而极限为-1从而当x=0时，极限不存在。故y=|x|(x∈R)没有导函数。结论：并不是每个函数都有导函数。第10页,共31页，2024年2月25日，星期天基本初等函数的导数公式第11页,共31页，2024年2月25日，星期天练习求下列函数的导数。(1)y=5(2)y=x4(3)y=x-2

y=2x

y=log2x第12页,共31页，2024年2月25日，星期天思考如何求下列函数的导数：第13页,共31页，2024年2月25日，星期天例2

假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关系

其中p0为t=0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?解：根据基本初等函数导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。第14页,共31页，2024年2月25日，星期天导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:第15页,共31页，2024年2月25日，星期天解：因为所以，函数y=x3-2x+3的导数是第16页,共31页，2024年2月25日，星期天练习求下列函数的导数。第17页,共31页，2024年2月25日，星期天例4

求下列函数的导数:答案:第18页,共31页，2024年2月25日，星期天例5

日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90％（2）98％解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数第19页,共31页，2024年2月25日，星期天所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨第20页,共31页，2024年2月25日，星期天例6

某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.

即t3-12t2+32t=0,

解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?第21页,共31页，2024年2月25日，星期天例7

已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.第22页,共31页，2024年2月25日，星期天

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).复合函数的概念第23页,共31页，2024年2月25日，星期天例4求下列函数的导数第24页,共31页，2024年2月25日，星期天第25页,共31页，2024年2月25日，星期天第26页,共31页，2024年2月25日，星期天函数求导的基本步骤：1，分析函数的结构和特征2，选择恰当的求导法则和导数公式3，整理得到结果第27页,共31页，2024年2月25日，星期天求下列函数的导数第28页,共31页，2024年2月25日，星期天如下函数由多少个函数复合而成：第29页,共31页，2024年2月25日，星期天小结：