函数的最大值、最小值

关于函数的最大值、最小值第2页,共52页，2024年2月25日，星期天函数的最大值和最小值1.最大值对于定义域为I的函数f(x)，条件：f(x)≤Mf(x0)=M第3页,共52页，2024年2月25日，星期天结论：M是定义域为I的函数f(x)的最大值.几何意义：函数y=f(x)图象上最___点的_______.思考：函数f(x)=-x2≤1总成立吗？f(x)的最大值是1吗?提示:f(x)=-x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)=1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.高纵坐标第4页,共52页，2024年2月25日，星期天2.最小值对于定义域为I的函数f(x)，条件：结论：M是函数f(x)在I上的最小值.几何意义：函数y=f(x)图象上最___点的_______.f(x)≥Mf(x0)=M低纵坐标第5页,共52页，2024年2月25日，星期天判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)=x的最小值是-∞.()(2)函数f(x)=-x2在［1,3］上的最小值是-1.()(3)函数f(x)=2x在区间［－1,3)上的最小值是-2，无最大值.()第6页,共52页，2024年2月25日，星期天提示：(1)错误.函数f(x)=x在(－∞,+∞)上无最大值和最小值.(2)错误.当x=3时函数f(x)=-x2在［1,3］上取得最小值-9.(3)正确.由于函数f(x)=2x在区间［－1,3)上是增函数，故当x=-1时函数取得最小值-2，函数无最大值.答案：(1)×(2)×(3)√第7页,共52页，2024年2月25日，星期天【知识点拨】1.最大值、最小值定义的理解(1)最大(小)值定义中具备的两个条件①对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立;②M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如f(x)=-x2的最大值是0,有f(0)=0,注意定义中“存在”一词的理解.(2)两条件缺一不可,若只有前者,M不是最大(小)值,如f(x)=-x2≤1总成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那样就丢掉了最大值的核心了.第8页,共52页，2024年2月25日，星期天2.求最大值、最小值时的三个关注点(1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标.(2)单调性法求最值勿忘求定义域.(3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意.第9页,共52页，2024年2月25日，星期天3.辨析函数的最值和值域(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域.(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在.(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素.例如，函数f(x)=-x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1,但是f(x)的最大值不是1，因为1不在f(x)的值域内.第10页,共52页，2024年2月25日，星期天类型一图象法求函数最值(值域)

【典型例题】1.函数y=f(x)，x∈［－4,7］的图象如图，则其最大值、最小值为()A.3，2B.3，-2C.3，0D.2，-22.写出函数f(x)=|x+1|+|2－x|，x∈(－∞,3］的单调区间和最值.第11页,共52页，2024年2月25日，星期天【解题探究】1.利用图象法求函数的最值时应写最高(低)点的纵坐标,还是横坐标？2.题2中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解？探究提示：1.利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标.2.应先作图象，找出单调区间，最后确定最值.第12页,共52页，2024年2月25日，星期天【解析】1.选B.观察图象知，图象的最高点(3，3)，最低点(-1.5，-2)，所以其最大值、最小值分别为3，-2.2.其图象如下：由图象得单调递减区间为(-∞,-1］，单调递增区间为［2,3］,有最小值3，无最大值.第13页,共52页，2024年2月25日，星期天【互动探究】把题2中的问题改为求f(x)≥5的x的取值范围.【解析】结合题2图象，令g(x)=5,则x的范围为x≤-2或x=3.第14页,共52页，2024年2月25日，星期天【拓展提升】利用图象法求函数最值(1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法,对图象易作出的函数常用.(2)图象法求最值的一般步骤:第15页,共52页，2024年2月25日，星期天类型二单调性法求函数的最值(值域)【典型例题】1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)有最小值-2，则f(x)的最大值为()A.4B.6C.1D.22.函数f(x)=(x>0).(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)若函数f(x)的定义域与值域都是［2］，求a的值.第16页,共52页，2024年2月25日，星期天【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么?2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2)是否有作用？探究提示：1.求二次函数f(x)在某区间［m,n］上的最值的关键是判断函数在［m,n］内的单调性.2.证明f(x)单调性的步骤为取值→作差变形→定号→判断(结论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的值.第17页,共52页，2024年2月25日，星期天【解析】1.选B.f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)为增函数，所以最小值为f(0)=a=－2，最大值为f(2)=8+a=6.第18页,共52页，2024年2月25日，星期天2.(1)任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，则∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)由(1)知，f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以若函数f(x)的定义域与值域都是［2］，则即解得a=第19页,共52页，2024年2月25日，星期天【拓展提升】1.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值.2.利用单调性求最值的三个常用结论(1)如果函数f(x)在区间［a,b］上是增(减)函数,则f(x)在区间［a,b］的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值.(2)如果函数f(x)在区间(a,b］上是增函数,在区间［b,c)上是减函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最大值f(b).第20页,共52页，2024年2月25日，星期天(3)如果函数f(x)在区间(a,b］上是减函数,在区间［b,c)上是增函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最小值f(b).第21页,共52页，2024年2月25日，星期天【变式训练】已知函数f(x)=x∈［2,5］，求其最大值与最小值.【解析】任意取x1，x2∈［2,5］且x1<x2，则f(x1)－f(x2)=∵x1，x2∈［2,5］且x1<x2，∴f(x1)－f(x2)>0，所以f(x)=x∈［2,5］是减函数，f(5)≤f(x)≤f(2)，故f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(5)=第22页,共52页，2024年2月25日，星期天类型三函数最值的应用

【典型例题】1.绿园商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为______元/瓶.第23页,共52页，2024年2月25日，星期天2.一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距刚出手时相应地面上的点10m，铅球运动中最高点离地面3m，如图：已知铅球走过的路线是抛物线，求该抛物线表示的函数的解析式.第24页,共52页，2024年2月25日，星期天【解题探究】1.解实际应用问题时需要考虑定义域吗？2.二次函数解析式有哪几种设法？第25页,共52页，2024年2月25日，星期天探究提示：1.需要考虑定义域,因为解应用题,就是确定函数,求函数最值的问题,应时刻牢记函数的定义域,不仅使函数式有意义，而且还要与实际问题相符合.2.(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式,然后列出三元一次方程组求解.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程时,通常设函数解析式为顶点式.第26页,共52页，2024年2月25日，星期天(3)两根式:y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0).已知二次函数与x轴的两个交点或已知与二次函数对应的一元二次方程的两个实根时,经常采用两根式.第27页,共52页，2024年2月25日，星期天【解析】1.设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y=(x－3)(400+×40)=80(x－3)(9－x)=-80(x-6)2+720(x≥3)，所以x=6时，y取最大值.答案：62.由题意，抛物线的最大值为3，故设抛物线方程为y=a(x－h)2+3(a<0)，又其过点(0,)，(10,0)，所以解得抛物线方程为y=(x－4)2+3，x∈［0,10］.第28页,共52页，2024年2月25日，星期天【拓展提升】解实际应用题的四个步骤(1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模:建立数学模型,列出函数关系式.(3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.第29页,共52页，2024年2月25日，星期天【变式训练】快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AC＝150千米，在快艇到达C地之前，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？第30页,共52页，2024年2月25日，星期天【解析】设经过x小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设为y，由150÷45=知定义域为{x|0<x≤}可求得当x=3时，y有最小值．故经过3小时，快艇与轮船之间的距离最短.第31页,共52页，2024年2月25日，星期天

二次函数在区间上的最值【典型例题】1.已知函数f(x)=x2-2ax+2，x∈［-1,1］，求函数f(x)的最小值.2.设函数f(x)=x2-2x+2,x∈［t,t+1］,t∈R，求函数f(x)的最小值.第32页,共52页，2024年2月25日，星期天【解析】1.f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上，且对称轴为直线x=a.第33页,共52页，2024年2月25日，星期天当a≥1时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间［-1，1］上是减函数，最小值为f(1)=3-2a;当-1<a<1时，函数图象如图(2)所示，函数f(x)在区间［-1,1］上是先减后增，最小值为f(a)=2-a2;当a≤-1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［-1，1］上是增函数，最小值为f(-1)=3+2a.第34页,共52页，2024年2月25日，星期天2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，对称轴为直线x=1.第35页,共52页，2024年2月25日，星期天当t+1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1;当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值为f(1)=1;当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.第36页,共52页，2024年2月25日，星期天【拓展提升】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间［m,n］上的最值的类型(1)若对称轴x=在区间［m,n］内，则最小值为f()，最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x=距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若对称轴x=<m,则f(x)在区间［m,n］上是增函数，最大值为f(n),最小值为f(m).(3)若对称轴x=>n,则f(x)在区间［m,n］上是减函数，最大值为f(m),最小值为f(n).

第37页,共52页，2024年2月25日，星期天【规范解答】利用函数的单调性求最值问题【规范解答】设x1,x2为［1,2］上的任意两个实数,且x1<x2,…………1分【典例】

【条件分析】第38页,共52页，2024年2月25日，星期天则f(x1)-f(x2)

……

5分∵x1,x2∈［1,2］,且x1<x2,∴x1-x2<0.第39页,共52页，2024年2月25日，星期天x1x2∈(1,4)，∴x1x2-9<0②,……8分∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)=x+在［1,2］上为减函数.……………10分所以当x=1时取最大值，最大值f(1)=10,当x=2时取最小值，最小值f(2)=从而函数的最大值是f(1)=10,最小值是f(2)=

③.……12分第40页,共52页，2024年2月25日，星期天【失分警示】第41页,共52页，2024年2月25日，星期天【防范措施】1.对单调性定义的把握在函数的定义域中任给x1<x2，比较出f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的关系，从而得出是增函数还是减函数.如本例中f(x1)-f(x2)>0,得出f(x1)>f(x2),从而判定为减函数.2.单调性与最值的关系利用函数的单调性可以求出函数的最值，这是求最值常用的方法之一，在求函数的最值时要时刻牢记.如本例中证明f(x)在［1,2］上为减函数后，可直接求出其对应的最大值与最小值.第42页,共52页，2024年2月25日，星期天【类题试解】已知函数f(x)=-x2+6x+9在区间［a,b］(a<b<3)上有最大值9，最小值-7，求实数a,b的值.【解析】f(x)=-x2+6x+9=-(x-3)2+18,则f(x)在(-∞,3)上为增函数,因为a<b<3，所以当x=a时，函数取得最小值ymin=-7;当x=b时，函数取得最大值ymax=9,即解得：a=8或-2;b=0或6.故a=-2,b=0.第43页,共52页，2024年2月25日，星期天1.函数f(x)=2x－x2的最大值是()A.－1B.0C.1D.2【解析】选C.函数f(x)=2x－x2开口向下，对称轴为x=1，当x=1时，取得最大值1.第44页,共52页，2024年2月25日，星期天2.函数y=2x2+1,x∈N*的最值情况是()A.无最大值，最小值是1B.无最大值，最小值是3C.无最大值，也无最小值D.不能确定最大、最小值【解析】选B.∵x∈N*，且函数在(0，+∞)上单调递增，故函数在x=1时有最小值3，无最大值.第45页,共52页，2024年2月25日，星期天3.函数f(x)=2+bx在［-2,2］上的最大值与最小值的差为4，则b的值是()A.1B.-1C.1或-1D.0【解析】选C.由题意知b≠0,当b＞0时，f(x)max=2+2b,f(x)min=2-2b,∴2+2b-(2-2b)=2+2b-2+2b=4b,∴4b=4,∴b=1.当b＜0时，