二次函数一般式的图像与性质

关于二次函数一般式的图像与性质知识回顾:时，图象将发生怎样的变化？二次函数y=ax²y=a(x+m)2y=a(x+m)2+k1、顶点坐标？（0，0）（m，0）（m，k）2、对称轴？（y轴或直线x=0）（直线x=m）（直线x=m）3、平移问题？一般地，函数y=ax²的图象先向右（当m<0）或向左（当m>0）平移|m|个单位可得y=a(x+m)2的图象；若再向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位可得到y=a(x+m)2+k的图象。第2页,共31页，2024年2月25日，星期天复习：1、抛物线y=-3（x-2）2

+4的开口____；对称轴是

；顶点坐标_____；当x____时，y随x的增大而减小，当x____时，y随x的增大而增大；当x为____时,有最大值是____.2、抛物线y=2（x-2）2-3是由抛物线y=2(x-2)2向___平移___单位而得到的，也可由抛物线y=2x2先向___平移___单位，再而得向____平移____单位得到的。向下直线x=2(2，4）≥2≤224下3右2下3第3页,共31页，2024年2月25日，星期天

对于二次函数y=ax²+bx+c

（a≠0

）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？通过变形能否将y=ax²+bx+c转化为y=a(x+m)2+k的形式

？二次函数y=ax²y=a(x+m)2y=a(x+m)2+k第4页,共31页，2024年2月25日，星期天y=ax²+bx+c

=a（x2+x）+c=a〔x2+x+–〕+c=a(x+)2+y=ax²+bx+c

第5页,共31页，2024年2月25日，星期天

二次函数

(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是直线x=顶点坐标是为（，）y=ax²+bx+c当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。请说明其增减性第6页,共31页，2024年2月25日，星期天例题学习:解：因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。例4求抛物线的对称轴和顶点坐标。第7页,共31页，2024年2月25日，星期天1.函数的图象开口向

，顶点坐标为

，对称轴为

，当

时y随x的增大而增大；当

时y随x的增大而减少,当x=

时y有最

值

.下(1，－2.5)直线x=1x<1x>11大－2.5第8页,共31页，2024年2月25日，星期天2.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：做一做:4、P16练习13.

说出上面函数的图象可由怎样的抛物线y=ax²（a≠0），经过怎样的平移后得到？.第9页,共31页，2024年2月25日，星期天

我们的结论:①

图象的开口方向：_____②

对称轴：直线x=______③

顶点坐标：__________④增减性:在对称轴的___侧,y随x_________,在对称轴的____侧,y随x__________⑤最值:当x=____时,y最小值

=_______请研究二次函数y=x2-6x+5的图象和性质，并尽可能多地说出结论。向上3（3，-4）左的增大而减小右的增大而增大3-4第10页,共31页，2024年2月25日，星期天⑥

可由抛物线y=x2向____平移__个单位,

再向_____平移___个单位得到;

⑦抛物线与x轴的两个交点与顶点构成的三角形是_______三角形.y=x2-6x+5右3下4等腰第11页,共31页，2024年2月25日，星期天⑧

图象与x轴的交点:________

与y轴交点:________⑨

⊿=16＞0,抛物线与x轴有____个交点,

且交点的横坐标是对应二次方程________

的两根⑩当___﹤x﹤___时y﹤0；当x﹥___或x﹤___时y﹥0y=x2-6x+5（1，0）（5，0）（0，5）两x2-6x+5=01551第12页,共31页，2024年2月25日，星期天二.探究系数与图象间的关系a与图象的关系a决定图象的形状开口方向开口大小当a>0时开口向上

a

越大图象开口越小

a越小图象开口越大当a<0时开口向下第13页,共31页，2024年2月25日，星期天b与图象的关系b影响对称轴的位置当b=0时对称轴为y轴当ab>0时对称轴在y轴左侧当ab<0时对称轴在y轴右侧第14页,共31页，2024年2月25日，星期天c与图象的关系C确定图象与y轴的交点当c＝0时图象过原点当c>0时图象与y轴正半轴相交当c<0时图象与y轴负半轴相交第15页,共31页，2024年2月25日，星期天∆与图象的关系∆决定图象与x轴的交点情况当∆>0

时图象与x轴有两个交点当∆＝0时图象与x轴只有一个交点当∆<0时图象与x轴无交点第16页,共31页，2024年2月25日，星期天对于二次函数y=ax2+bx+c中字母的几何意义a：确定抛物线的开口方向、形状c：确定y轴的交点（0，c）确定对称轴的位置b2-4ac:确定与x轴的交点情况当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点第17页,共31页，2024年2月25日，星期天1.若抛物线y=x2+(m-2)x+(m+5)的顶点在y轴上，则m的值是（）A.-2B.2C.-5D.5B我相信:我能行!3.若二次函数y=ax2+3x-1与x轴有两个交点，则a的取值范围是

.44第18页,共31页，2024年2月25日，星期天4.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，那么a、c应满足的条件是（）A.a>0且b2-4ac≥0B.a>0且b2-4ac>0C.a<0且b2-4ac<0D.a<0且b2-4ac≤0C我相信:我能行!5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：a

0,b

0,

c

0,∆

0,a-b+c

0,a+b+c

0<<>>>=第19页,共31页，2024年2月25日，星期天1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,请在下列横线上填写“<”,“>”或“=”.（1）

a___0,b____0,c_____0,abc____0b2-4ac_____00-11-2<<>>><>>（2）a+b+c_____0,a-b+c____04a-2b+c_____0自我挑战12.已知二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,请画一个能反映这样特征的二次函数草图.第20页,共31页，2024年2月25日，星期天一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k1.已知一个二次函数的图象过点（-1,10）,（1,4）,（2,7）三点，求这个函数的解析式？2.已知抛物线的顶点为（－1，3），与y轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？3.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在()A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上4.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是()A.4B.-1C.3D.4或-1BA第21页,共31页，2024年2月25日，星期天5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,则()A.b=2B.b=-6,c=6C.b=-8D.b=-8,c=186.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()BxyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3C第22页,共31页，2024年2月25日，星期天7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）CxyoxyoxyoxyoABCD8.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是()A.b2-4ac>0B.abc>0C.a+b+c=0D.a-b+c<01xyo-1B第23页,共31页，2024年2月25日，星期天驶向胜利的彼岸9、请写出如图所示的抛物线的解析式：课内练习（0，1）（2，4）xyO第24页,共31页，2024年2月25日，星期天1.用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？2、已知二次函数的顶点是（2，－1），且与y轴的交点到原点的距离是2，则这个二次函数的解析式是_________________________.

或第25页,共31页，2024年2月25日，星期天如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？OxyABC第26页,共