三角形三边垂直平分线的性质

关于三角形三边垂直平分线的性质课前小测1.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=______

2.如图，AB=AC=8cm，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为18，则DC=______第2页,共17页，2024年2月25日，星期天3.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为()A.6B.5C.4D.34.如图，△ABC中AC⊥DC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线.第3页,共17页，2024年2月25日，星期天5.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABD的周长是12cm,AC=5cm,则AB+BD+AD=

cm;AB+BD+DC=

cm;△ABC的周长是

cm.

121217第4页,共17页，2024年2月25日，星期天第一章三角形的证明

学习新知检测反馈三角形三边垂直平分线的性质（二）第5页,共17页，2024年2月25日，星期天学习新知问题思考利用尺规作三角形三条边的垂直平分线,当作完图时你发现了什么?

三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.

请同学们剪一个三角形纸片,通过折叠找出每条边的垂直平分线,观察这三条垂直平分线,你是否发现同样的结论?与同伴交流.我们用眼睛观察到的,一定是真的吗?我们还需要用公理和已学过的定理进行推理证明,这样才更有意义”.第6页,共17页，2024年2月25日，星期天(教材例2)求证:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.已知:如图所示,在△ABC中,边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.求证:边AC的垂直平分线经过点P,且PA=PB=PC.证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).同理,PB=PC.∴PA=PB=PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上),即边AC的垂直平分线经过点P.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.第7页,共17页，2024年2月25日，星期天已知：三角形的一条边a和这边上的高h求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．

1ADCBAah()DCBAah1ADCBAah1A几个尺规作图的讲解【问题】

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能画出满足条件的三角形吗?如果能,能画出几个?所画出的三角形都全等吗?第8页,共17页，2024年2月25日，星期天

问题(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?

这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．如图所示，这些三角形不都全等．第9页,共17页，2024年2月25日，星期天已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．已知：线段a、h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.作法：1．作BC=a；

2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4．连接AB、AC.∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示）.NMDCBahA问题（3)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗?第10页,共17页，2024年2月25日，星期天“做一做”和“议一议”:已知直线l和l(外)上一点P，用尺规作l的垂线,使它经过点P.3.作直线PC.则PC⊥直线l.情形一:点P在直线l上(如图所示).1.以点P为圆心,任意长为半径画弧交l于两点A和B.2.分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧交于点C.lABCP第11页,共17页，2024年2月25日，星期天3.作直线PC.则PC⊥直线l.情形二:点P在直线l外(如图所示).1.在l的另一侧取点K,以点P为圆心,PK长为半径画弧,交l于两点A和B.2.分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧交于点C.lABCKP第12页,共17页，2024年2月25日，星期天本节课知识回顾2、已知底边及底边上的高，求作三角形3、已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个三角形1、三角形的三条垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等第13页,共17页，2024年2月25日，星期天布置作业1、课后作业：（不交，课前讲）课本P26页22、家庭作业：（上交）课时分层B本P15—16第14页,共17页，2024年2月25日，星期天检测反馈解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠A=20°,∴∠ABC=80°.再根据线段垂直平分线的性质可知AE=BE,即∠A=∠ABE=20°,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.故选C.1.如图所示,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于 (

)A.80° B.70°C.60° D.50°C第15页,共17页，2024年2月25日，星期天解析:根据线段垂直平分线的性质,得AE=BE,根据等边对等角,得∠BAE=∠B=30°.根据直角三角形的两个锐角互余,得∠BAC=60°,则∠CAE=∠BAE=30°,即∠CAE=∠B.由题意易知△ACE≌△BDE,所以CE=DE.故选B.2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线