幂函数及其性质

关于幂函数及其性质学习目标一、知识目标：1.通过实例了解并记住幂函数的概念.2.结合几个常见幂函数的图象观察图象特征并能自行发现幂函数的性质.3.记住幂函数的性质并会应用.能力目标：通过观察图象特征来归纳函数性质,从而培养学生数形结合的能力.情感目标：通过观察图象体会数学的简洁美.第2页,共31页，2024年2月25日，星期天一、幂函数的概念的引入阅读课本第85页的具体实例（1）－（5），思考下列问题：1.它们的解析式分别是什么？若用表示自变量,表示的函数,上述五个函数解析式分别是什么?

第3页,共31页，2024年2月25日，星期天问题引入：函数的生活实例问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数p=

元，

。问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S=

，

。问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积是V=

，

。问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=

，

。问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=

，

。

w这里p是w的函数a²这里S是a的函数a³这里V是a的函数S这里a是S的函数这里v是t的函数tkm/s若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:第4页,共31页，2024年2月25日，星期天以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为1。

y=x

y=x2

y=x1/2

y=x3

y=x-1一般地，函数y=叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.注意:幂函数中α的可以为任意实数.第5页,共31页，2024年2月25日，星期天一、幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数。练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？答案（2）（5）思考：指数函数y=ax与幂函数y=xα有什么区别？中前面的系数是1，后面没有其它项。第6页,共31页，2024年2月25日，星期天2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点待定系数法分析：例题要求函数的解析式，首先由题知，此函数是幂函数，也就符合幂函数的一般形式，而且我们知道图像过点只要把点带入解析式中即可求出a，也就可以求出函数的解析式。（3，），求这个函数的解析式。第7页,共31页，2024年2月25日，星期天

解：设所求幂函数的解析式为因为点在函数图像上，所以代入解析式得：第8页,共31页，2024年2月25日，星期天3.如果函数f(x)=(m2+2m－2)是幂函数，求实数m,n的值。解：由题意得第9页,共31页，2024年2月25日，星期天式子名称常数

x

y指数函数:y=a

x（a>0且a≠1)

幂函数:y=xα

a为底数指数α为指数底数幂值幂值二、幂函数与指数函数比较判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点：看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数第10页,共31页，2024年2月25日，星期天二、五个常用幂函数的图像和性质

(1)(2)

(3)(4)(5)第11页,共31页，2024年2月25日，星期天定义域：值域：奇偶性：单调性：函数的图像第12页,共31页，2024年2月25日，星期天定义域：值域：奇偶性：单调性：函数的图像第13页,共31页，2024年2月25日，星期天xy=x3-3-27-2.5-15.63-2-8-1.5-3.375-1-1-0.5-0.125000.50.125111.53.375282.515.625327用描点法作出函数y=x3的图象.第14页,共31页，2024年2月25日，星期天定义域：值域：奇偶性：单调性：函数的图像第15页,共31页，2024年2月25日，星期天x001121.41431.7324252.23662.44972.64682.82893103.162113.317123.464133.606143.742153.873164用描点法作出函数的图象.第16页,共31页，2024年2月25日，星期天定义域：值域：奇偶性：单调性：函数的图像第17页,共31页，2024年2月25日，星期天定义域：值域：奇偶性：单调性：函数的图像第18页,共31页，2024年2月25日，星期天下面将5个函数的图像画在同一坐标系中

(1)(2)

(3)(4)(5)第19页,共31页，2024年2月25日，星期天第20页,共31页，2024年2月25日，星期天幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.y=x3定义域值域单调性公共点y=xRRR[0，+∞）R[0，+∞）R[0，+∞）奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在R上是增函数在（－∞,0]上是减函数，在(0,+∞）上是增函数在R上是增函数在(0，+∞)上是增函数在(－∞,0)，(0,+∞）上是减函数（1，1）奇偶性y=x2第21页,共31页，2024年2月25日，星期天α>10<α<1a=1小结：幂函数的性质:１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.如果α<0,则幂函数在(0,+∞)上为减函数。

α<03.如果α>0,则幂函数在(0,+∞)上为增函数;2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,

当α为偶数时,幂函数为偶函数.第22页,共31页，2024年2月25日，星期天练习：利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3

(3)解:(1)y=x0.8在(0,∞)内是增函数,∵5.2<5.3∴5.20.8<5.30.8(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数∵2.5<2.7∴2.5-2/5>2.7-2/5第23页,共31页，2024年2月25日，星期天练习(4)1）2）3）4）＜＜＞＞第24页,共31页，2024年2月25日，星期天方法技巧:分子有理化例2：第25页,共31页，2024年2月25日，星期天第26页,共31页，2024年2月25日，星期天练习3:如图所示，曲线是幂函数y=xk

在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________

一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，指大图高C4C2C3C11第27页,共31页，2024年2月25日，星期天思考4：根据上述五个函数的图象，你能归纳出幂函数在第一象限的图象特征吗？xyoα<0α=1α>10<α<11.图象都过点(1,1)2.α>0时图象过原点且上升，α<0时图象不过原点且下降，同时以两坐标轴为惭近线.3.在x=1

的右侧指大图高.11第28页,共31页，2024年2月25日，星期天小结:1．记住幂函数的定义；2．掌握幂函数的图象和性质；3．能利用幂函数的性