两个平面垂直的性质

关于两个平面垂直的性质复习回顾：（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］（２）利用判定定理［线面垂直面面垂直］

AB线面垂直面面垂直线线垂直面面垂直的判定第2页,共11页，2024年2月25日，星期天三、两个平面垂直的性质定理如图2，α⊥β，AB⊂α，AB⊥CD，α∩β=CD，求证：AB⊥β。[分析]

在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需证AB垂直于β内的两条相交直线就行。而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一条就够了。而我们还有α⊥β这个条件没使用，由α⊥β定义，则∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，问题也就得到解决．第3页,共11页，2024年2月25日，星期天四、两个平面垂直的性质两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直第4页,共11页，2024年2月25日，星期天五、两个平面垂直应用举例例题1

如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即∠ACB是二面角A-VC-B的平面角．由∠ACB是直径上的圆周角，知∠ACB=90°。

因此，平面VAC⊥平面VBC．由DE是△VAC两边中点连线，知DE∥AC，故DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理，知直线DE与平面VBC垂直。注意：本题也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，推出上面的结论。第5页,共11页，2024年2月25日，星期天例2．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。SCBAD证明：过A点作AD⊥SB于D点.∵平面SAB⊥平面SBC,∴AD⊥平面SBC，∴AD⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.AD∩SA=A∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.第6页,共11页，2024年2月25日，星期天1．给出下列四个命题：

①垂直于同一个平面的两个平面平行；

②垂直于同一条直线的两个平面平行；

③垂直于同一个平面的两条直线平行；

④垂直于同一条直线的两条直线平行．

其中正确的命题的个数是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4B

课堂练习：第7页,共11页，2024年2月25日，星期天2．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是（

）

A.30°，B.30°或150°，C.45°，D.45°或135°。AαBβOC如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则∠ABC=45°，∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。设AB=a,则AC=，AO=则sin∠ACO=∴∠ACO=45°或135°D第8页,共11页，2024年2月25日，星期天3．线段AB长为2a，两端点A，B分别在一个直二面角的两个面内，且AB与两个面所成的角分别为30°和45°，设A，B两点在棱上的射影分别为A′，B′，则A′B′长等于（

）．

αβAA′BB′C提示：利用直线与平面所成角的定义和垂直关系得：∠BAB′=30°，∠ABA′=45°∴在Rt△BAB′中，BB′=AB/2=a，在Rt△BB′A′中，在Rt△BA′A中第9页,共11页，2024年2月25日，星期天［总结提炼］☆已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内☆解题过程中应注意充分领悟、应用☆证明面面垂直要从寻找面的垂线入手☆理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义☆

定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上