2020-2021学年沈阳市郊联体高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年沈阳市郊联体高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.有10个大小相同的球，其中8个红球，2个黑球.从中任意取出3个球，下列事件中为必然事件

是（）.

A.3个都是红球B.至少有1个黑球

C.3个都是黑球D.至少有1个红球

2.已知复数2=誓0为虚数单位）.则其共轨复数2在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.双曲线C：捻一'=l（a>O,b>0）的右焦点尸恰好是圆F：M+y2一轨+3=0的圆心，且点F

到双曲线C的一条渐近线的距离为1,则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.V3C.—D.2V3

3

4.已知方=（1,1,0）与石=（-1,0,2），且k五+石与2行一3互相垂直，则k=（）

A.17B.gC.-21D.1

5.现有1位教师，2位男同学，3位女同学共6人站成一排，要求2位男同学站两边，3位女同学中有

且仅有两位相邻，则不同排法有（）

A.12种B.24种C.36种D.72种

6.用6个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为点摸到红球的概率

为右摸到黄球的概率为则应准备的白球，红球，黄球的个数分别为（）

A.3,2,1B.1,2,3C.3,1,2D.无法确定

7.先后掷子（骰的六面分别标1、2、3、4、5,6个点）两次，落在水平桌后，记正面朝上数分别为工、

y,设事件4为“x+y为偶数”，事件B为“x、y中有偶数，且，则概P（B|4）=（）

A.三B|C.；D.|

8.抛物线必=2Px上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10,则该抛物线的焦点到准线的距

离为（）

A.4B.8C.16D.32

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知两种不同型号的电子元件（分别记为X,丫）的使用寿命均服从正态分布X〜N（%,於）,

丫〜N卬2,今），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（）

(参考数据：若Z〜N(〃Q2),则+20.6827,P(M-2(r)<Z</z+2(r)«0.9545)

A.网>的

B.0<a2

c.P（Y>〃2）<P（Y>〃1）

D.P（“i—Ci<X<Mi+2。1）«0.8186

10.学校为了解新课程标准中提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响

情况，随机抽取100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末

阅读时间的频率分布直方图如图所示.将阅读时间不低于30min

的学生称为阅读霸，则下列结果正确的是（）

A.抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸

B.抽取的100名学生中有50名学生为阅读霸

C.该校学生中有50名学生不是阅读霸

D.抽样表明，该校有50名学生为阅读霸

11.已知直线I：ax+by—产=o与圆/+、2=「2,点6）,则下列说法正确的是（）

A.若点4在圆C上，则直线［与圆C相切

B.若点4在圆C内，则直线，与圆C相离

C.若点4在圆C外，则直线［与圆C相离

D.若点4在直线I上，则直线［与圆C相切

12.某日4B两个沿海城市受台风袭击的概率均为p,已知4市或B市至少有一个受台风袭击的概率

为0.64,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则（）

A.p=0.4B.P（X=0）=0.36

C.尸（X=1）=0.16D.E（X）=0.4

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知X的分布列为P(X=k)=》k=1,2，…,6),其中c为常数，贝|P(X<2)=.

14.在平面直角坐标系％0y中，直线%+(m+l)y=2-m与直线zn%+2y=-8互相平行的充要条

件是m=.

+4y>4

15.给定区域D：，令点集「={(&，%)CDlx。，y°eZ,(久,乂)是2=%+旷在。上取得

x十y_z())

<%>0

最大值或最小值的点},则7中的点共确定个不同的三角形.

16.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左顶点为4上顶点为B,左焦点6到直线的距离为

?|0B|，则椭圆的离心率等于.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

2n+1

17.已知(1+x)2n+i=即+a6+a?/H------1-a2n+iX,neN*.记〃=22o(2k+l)an_k.

(1)求72的值；

(2)化简7；的表达式，并证明：对任意的neN*,7；都能被4n+2整除.

18.已知点4、B的坐标分别是(0,-1),(0,1),直线4M、BM相交于点M,且它们的斜率之积为

(1)求点M轨迹C的方程；

(2)若过点0(2,0)的直线I与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、在D、/之间)，试求△0DE与

△。。产面积之比的取值范围(。为坐标原点).

19.国家放开二胎政策后，不少家庭开始生育二胎,随机调查110名性别不同且为独生子女的高中生,

其中同意生二胎的高中生占随机调查人数的白，统计情况如表：

11

同意不同意合计

男生X20—

女生20y—

合计——110

(1)求x,y的值;

(2)根据以上数据，能否有99%的把握认为同意生二胎与性别有关？请说明理由.

附，k2=______________________

r'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P（K2

0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

N卜0）

ko0.4550.7081.3232.0762.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.如图，AD//BCHAD=2BC,AD1CD,EG//4D且EG=AD,CD//FG旦CD=2FG,DG_L平

面ABCD,DA=DC=DG=2.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；

(2)求二面角E-BC-尸的正弦值；

(3)若点P在线段DG上，且直线与平面4DGE所成的角为60。，求线段。P的长.

21.已知某学校有160名教师，根据所教的学科可以分为文科教师和理科教师.学校为了了解教师们

的健康状况，对全体教师进行睡眠时间的调查，调查结果如表所示.

文科教师理科教师

睡眠不足4555

睡眠充足3525

(I)用独立性检验的方法，判断是否有99%的把握认为教师的睡眠时间与所教学科有关；

(II)按照睡眠是否充足用分层抽样的方法抽取8名教师，再从这8人中随机抽取3人进行健康检查,

用X表示抽取的3人中睡眠充足的教师人数，求随机变量X的分布列与数学期望.

n{ad-bc)2

附：2其中72=a+b+c+d.

K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.500.0100.001

k3.8416.63510.828

22.已知椭圆C：今+3=l(a>b>0)的离心率为争且经过点P(2,l).直线电椭圆C有两个不同的

交点A,B,且直线24交y轴于M,直线PB交y轴于N.

(I)求椭圆C的方程；

(H)设。为原点，若|OM|=|ON|,求证：直线I经过定点.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.事件

分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件.事先能肯定它一定

会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可

能事件都是确定的.

故在本题中：有10个大小相同的球，其中8个红球，2个黑球.从中任意取出3个球，至少有1个红球

是必然事件.

故选：D.

2.答案：A

解析：

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.利用复数的运

算法则求出z、由几何意义即可得出其共舸复数2在复平面内所对应的点位于第一象限.

解：复数z=9包=史目=(8+6i)(l-i)=曰=7—j.

1+i1+i22

则复数z的共加复数5=7+i在复平面内对应的点(7,1)位于第一象限.

故选A.

3.答案：C

解析：解：％2+、2一4%+3=0可化为。-2)2+丫2=1,故/(2,0),即c=2,

点尸到一条渐近线的距离为b,即匕=1,

・•・a=V4—1=V3»

c2V3

e=­=—.

a3

故选：c.

%2+3/2-4%+3=0可化为。-2)2+了2=1,故尸(2,0),即c=2,点尸到一条渐近线的距离为6,

即b=L进而求出a,即可求出双曲线C的离心率.

本题考查双曲线C的离心率，考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础.

4.答案：B

解析：

本题考查空间向量的数量积，空间向量的坐标运算，是基础题.

解题时要认真审题，注意垂直向量的性质的灵活运用，空间向量垂直，数量积为0,从而得出日

解：•.•五=(1,1,0)与石=(-1,0,2)>

：•k•五+b=(k,k,0)+(—1,0,2)=(k—1,kf2)>

2a-b=(2,2,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2).

vk五+至与2五一B互相垂直，

•••(fca+K)•(2a-K)=3(fc-l)+2fc-4=0)

解得k=

故选：B.

5.答案：B

解析：解：先排2位男同学，有的=2种方法，3位女同学中有且仅有两位相邻，选出两位捆绑，与

老师全排,有第题掰=12种方法，剩下的女生，位置确定，则共有2x12=24种方法，

故选：B.

先排2位男同学，3位女同学中有且仅有两位相邻，选出两位捆绑，与老师全排，即可得出结论.

本题考查排列组合的综合运用，解题时，注意常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻

问题用插空法等.

6.答案:A

解析：

设出白球，红球，黄球的个数，由古典概型概率公式求解.

本题考查了古典概型概率公式的应用，属于基础题.

解；假设应准备的白球，红球，黄球的个数分别为x,y,z个，

则已=2,y=i,£=1.

人」6263661

解得，x=3,y=2,Z=1.

故选A.

7.答案：B

解析：

根据题意，利用事件的概率式，别求事件4的概率与事件4、同时发生的概率，用件率式加以计，可

(B|4)的值.本给出掷骰子的事件，求件概率.着重随件概率公、条概率的计算等知识，属于中档题.

据题意若事4为“x+y偶数”发生，x、y两个数均奇数或均为偶数.

共有2x3x3=18个基本事件，

二事件4的概率为P(4)=喂^=

而4B同时发生共有6个基本事件，

此时4、B同时发生的概率为P(4B)

6X6o

因此，在事件4发生情况下，B发的概率为「但|力)=黯=享=9

故选：B

8.答案：B

解析：解：由抛物线的定义，结合条件得，横坐标为6的点到准线x=一纲距离为10,BP6-(-乡=10,

p=8.二焦点到准线的距离p=8.

故选B.

根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出p,p就是抛物线的焦

点到准线的距离.

本题主要考查了抛物线的定义，对于这类涉及到抛物线上的点与焦点(或准线)的距离问题一般要考

虑用抛物线的定义解决.

9.答案：BCD

解析：解：由图可知，y的正态分布密度曲线的对称轴大于x的正态分布密度曲线，％<“2,故A

选项错误，

y的正态分布密度曲线数据分布的离散程度大于x的正态分布密度曲线的分布的离散程度，％<©，

故8选项正确，

由正态分布密度曲线，可知%<%，可得p(yN〃2)<P(yN〃i)，故c选项正确，

P(网-0WXW%+2©1)(0.6827+0.9545)=0.8186,故O选项正确・

故选：BCD.

根据己知条件，结合正态分布的性质，即可求解.

本题主要考查正态分布的性质，需要学生有一定的分析能力，属于基础题.

10.答案：AB

解析：解：根据频率分布直方图可得下表：

阅读时间/小讥[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

抽样人数/名10182225205

抽取的100名学生中，有50名为阅读霸，所以该校约有一半学生为阅读霸，故选项A,8正确：

抽取的100名学生中，有50名不是阅读霸，但是该校学生中不止50名学生不是阅读霸，故选项C错

误；

抽取的100名学生中，有50名是阅读霸，但是该校学生中不止50名学生是阅读霸，故选项。错误.

故选：AB.

根据频率分布直方图的数据列出频数分布表，由此分析判断四个选项即可.

本题考查了频率分布直方图的理解和应用，样本估计总体的运用，属于基础题.

II.答案：ABD

解析：解：•••点4在圆C上，

a2+b2=r2,

・・・圆心C(0,0)到直线［的距离为d=制彳产=段5=r,

•••直线与圆C相切，故A选项正确，

•••点4在圆C内，

a2+62<r2,

・•・圆心C(0,0)到直线，的距离为d=一沈;T>r,

・•・直线与圆C相离，故B选项正确，

•••点4在圆C外，

a2+b2>r2,

•••圆心C(0,0)到直线(的距离为d=吧=悬5<r,

・••直线与圆C相交，故C选项正确，

•••点4在直线I上，

・••卢+尼=丁2,

・••圆心C(0,0)到直线I的距离为d==悬=%

•・•直线与圆C相切，故。选项正确.

故选：ABD.

根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.

本题考查了直线与圆的位置关系，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

12.答案:AB

解析：解：某日4B两个沿海城市受台风袭击的概率均为p,

已知4市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.64,

则p2+C]p(l—p)=0.64,

由OWpWL解得p=0.4,故A正确；

P(X=0)=(1-0.4)(1-0.4)=0.36,故B正确；

P(X=1)=0.4(1-0.4)=0.48,故C错误；

•••X~B(2,0.4),；.E(X)=2x0.4=0.8,故。错误.

故选：AB.

由4市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.64,则p2+©p(l-p)=0.64,由此能求出p=0.4；

进而能求出P(X=0)和P(X=1)；由X〜8(2,0.4),能求出E(X).

本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

13.答案:]

解析：解：•.”的分布列为「(X=幻=成(卜=1,2,...,6),其中c为常数，

...£+£+£+£+£+£=1,

22223242s26'

解得C=M

P(X<2)=P(X=1)+P(X=2)

C.C336416

=—I—~—C——X——=——.

222446321

故答案为：青

利用X的分布列先求出c的值，再计算P(X<2)=P(X=1)+P(X=2)的值.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列的性质的灵活

运用.

14.答案：1

解析：

本题考查了直线相互平行与相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属

于中档题.

直线％+(m+l)y=2-m与直线mx+2y=-8互相平行，可得6+1W0,两条直线分别化为：y

一一三x+三，y=-yx-4,利用直线互相平行的充要条件即可得出•

m+1m+12

解：直线x+(m+l)y=2-m与直线mx+2y=-8互相平行，

・•・m+1H0,

两条直线分别化为：丫=一白了+W，y=-y%-4,

'm+1m+12

1m2-m,.

：.-------=-----,-----#—4,

m+12m+1

解得m=1.

二直线x+(m+l)y=2-m与直线7nx+2y--8互相平行的充要条件是m=1.

故答案为L

15.答案：25

解析：解：作出目标函数对应的直线，

因为直线z=x+y与直线x+y=4平行和x+y-2平行，

故直线2=x+y过直线x+y=4上的整数点：(4,0),(3,1)>

(2,2),(1,3)或(0,4)时，直线的纵截距最大,z最大；

故直线2=x+y过直线x+y=2上的整数点：(0,2),(1,1),

此时直线的纵截距最小，z最小；

所以满足条件的点共有7个，

则7中的点共确定不同的三角形的个数为0-程=35-10=25,

即7中的点共确定25个不同的三角形.

故答案为：25

作出不等式组对应的平面区域，确定z=x+y的最大值或最小值，利用沏，y0GZ,确定满足条件

的点的个数即可得到结论.

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合得到这整数点的个数是解决本题的关键，间距使用的

排列组合的基础知识.

16.答案：!

解析：解：设Fi到4B的垂足为。，AADFiAOB

AFDF

:•---r=----，

ABOB

a-C_y/7

>/a2+b27，

化简得到I5M—14ac+8c2=0

解得a=2c或Q=/舍去,

i

2

故答案为：

设Fl到4B的垂足为D,依题意可知，△4。京~44。3判断出今=募，进而表示出左焦点F1到直线AB

的距离化简整理求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得.

本题主要考查了柳圆的简单性质.解题的关键是利用左焦点&到直线48的距离建立等式求得答案.

17.答案：解：由二项式定理,得见=C晨+i(i=0,1,2，…,2n+1)；

(1)T2=g+3al+5ao=盘+30+5cg=30；……(2分)

(2)因为5+1+k)c=5+1+k).证普勒

(2n+1)•(2n)!

(n+fc)!•(n—k)!

=(2n+Y)C^k..........(4分)

所以Tn=2bo(2k+l)an_k

n

=W(2k+l)C^\

k=0

n

k=0

n

W[2(n+l+k)—(2n+l)]C疆产

k=Q

nn

=225+1+k)C龄#一(2兀+1)WC2n^k

k=0k=O

nn

=2(2n+1)WCznk~(2n+1)C疆产

k=0k=0

11

=2(2n+l)---(22n+遇)-(2n+l)---2Zn+1

=(2n+l)C为；……(8分)

Tn=(2n+1)C^=(2n+1)(C霖\+制_力=2(2n+1)C^,1；

因为以1TCN*,所以7；能被4n+2整除;......(10分)

注意:只要得出7；=(2n+1)CL，就给(8分)，不必要看过程.

解析：(1)由二项式定理得为=C，n+「利用公式计算72的值；

(2)由组合数公式化简及，把7；化为(4n+2)的整数倍即可.

本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题.

18.答案:解:(1)、设M(x,y),

"kAM-kBM=-g，

•.•—y——+1y-1——1，

TT2

整理得动点M的轨迹方程为于+y2=](工*0),

(2)由题意知直线1的斜率存在，

设，的方程为y=k(x-2)伏*±1)1

/2

将①代入]+/=J,

得/的方程为(2k2+l)x2-8/c2x+(8fc2-2)=0,

由4>0,

解得0<左2<1.

设E(Xi，yi)，2，y2)-

8t2

不+“=药

则《

8Jt2-2

产二^Ti

令"需'则入=解,即衣一.茄,即工广2=入出一2)，且。<”】•

由②得,

(11-2)+(12-2)=

(11—2)(X2-2)=工112—2(11+12)+4=2/+1

A2M+1

(l+A)2=-8-'

T0</且上2丰

24

n4A11n4A1.1

•,0<(rw_2<2,且访又声一］丰不

解得3—2於<入<3*2y2-且入羊：,

V0<A<1,

,，,3—2\/2v入v退入#了

>>

OBE与AOBF面积之比的取值范围是(3-25/2,1)U(1,1).

•>♦>

解析：(1)设M(x,y),&BM=—；，•.•午•?=—：，整理后就得到动点M的轨迹方程.

(2)设，的方程为”稔〜.力士》①，将①代入9+y2=i,解得。<1<}设E6,yi),

(8fc2

x+xX2

F(x2,y2),贝"/-^-②，令4=磬，则4=盘，即屈=4•胡，即与一2=A(x2—2),

IOK-Z、AOE户|or|

卜62=诉

且0<4<1,由此可求出△ODE与4ODF面积之比的取值范围是(3-2V2,1)U(}1).

19.答案：60506050

解析：解：⑴由题意知，x=110x^-20=40,

y=110-60-20=30,

补充列联表如下；

同意不同意合计

男生402060

女生203050

合计6050110

⑵根据以上数据，计算依=当黑+”822,且7.822>6.635,

所以有99%的把握认为同意生二胎与性别有关.

(1)由题意计算x、y的值，补充列联表即可；

(2)根据列联表计算K2,对照临界值得出结论.

本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题.

20.答案：(1)证明：因为力D〃BC,AD1CD,DG平面ZBCD,

而4。、OCu平面ABCO,所以0G140,DG1DC,

因此以。为坐标原点，分别以a、DC，丽的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

因为EG〃力。且EG=AD,CD//FGHCD=2FG,DA=DC=DG=2,

所以。(0,0,0),4(2,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),

E(2,0,2),F(0,l,2),G(0,0,2),N(l,0,2).

设/=(x,y,z)为平面CCE的法向量，DC=(0,2,0),DE=(2,0,2)，

=2y=°,不妨令z=—l,可得而=(1,0,-1)；

=2%+2z=0

又MN=(1,—1,1),所以MN'•而=0.

又•.•直线MN仁平面CDE,

•••MN〃平面CDE；

(2)解：依题意，可得能=(—1,0,0),BE=(1,-2,2)，CF=(0,-l,2).

设元=(X1，%,Z1)为平面BCE的法向量,

则£匣=一"0,

不妨令Zi=1,可得有=(0,1,1).

（九•BE=/-2yl+2zi=0

设沆=(%2，y2，Z2)为平面BC77的法向量,

喂慧二不妨令Z2=L可得充=(°2D-

若二面角E-BC-F的大小为。，

则|cosJ|=|cos<m,n>\=———=-7—,

|7n|-|n|10

因此sin。=V1—cos20=Jl-=噂。

••・二面角E-BC-F的正弦值为叵；

io

(3)解：设线段DP的长为九(he[0,2])，则点P的坐标为(0,0,/I)，

可得前=(-l,-2,/i).而比=(0,2,0)为平面4DGE的一个法向量.

又因为直线8P与平面40GE所成的角为60。，

所以sin60。=Icos<BP,DC>I=鲁熟=74=,

1'1\BP\\DC\Vh^+5

即在，解得八=在6[0,2].

••・线段OP的长为画.

3

解析：本题考查子直线与平面所成角，二面角，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角和利用空

间向量判定线面的平行关系，属于中档题.

(1)依题意，以。为坐标原点，分别以为、DC.说的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角

坐标系.求出对应点的坐标，求出平面CDE的法向而量及而/,由而•/=(),结合直线MNC平面

CDE,可得MN〃平面CDE；

(2)分别求出平面BCE与平面BC尸的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得

二面角E-BC-F的正弦值；

(3)设线段DP的长为Zi,(he[0,2])，则点P的坐标为(0,0,h)，求出乔=(-1,一2,%)，而觉=(0,2,0)

为平面4OGE的一个法向量，由直线BP与平面4OGE所成的角为60。，可得线段OP的长.

21.答案：解：(1)作出列联表:

文科教师理科教师合计

睡眠不足4555100

睡眠充足352560

合计8080160

n(ad-bc)160(45x25-35x55)2、，

----------乙--------=——----------------—=2.667<6.635,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-----80x80x100x60

・•・没有99%的把握认为教师的睡眠时间与所教学科有关.

(2)按照睡眠是否充足用分层抽样的方法抽取8名教师，

则从睡眠充足老师中抽取：8X黑=3人，从睡眠不足老师中抽取：8X拦=5人，

160160

再从这8人中随机抽取3人进行健康检查，用X表示抽取的3人中睡眠充足的教师人数,

则X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)/=孩，

P(X=D=等W，

P(X=2)=警喑

P—3)号=表.

•••X的分布列为:

X0123

1030151

P