2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-第一章　集合与常用逻辑用语

2023人教版新教材高中数学必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语

（满分150分,考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合U={x£N*|x<5},A={0,1,2,3},B={2,3,5}，则AA

（［△）=（）

A.0B.{1}C.{1,2}D.{2,3}

2.命题“Vx£R,都有x2-x+l>0”的否定是（）

A.mx£R,使得x2-x+l>0

B.Vx£R，者陌x2-x+K0

C.mx£R,使得x?-x+l〈0

D.mx£R,使得x?-x+IWO

3.已知实数a,b,"a>|b|"是“a>b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列四个命题是真命题的是（）

A.VnGR,n2^n

B.3nGR,VmGR,m•n=m

C.VnGR,SmGR,m2<n

D.VnER,n2<n

5.已知集合A={xIx-4x+3=0,XGR},B={X|0<X<5,x£N},则满足条件AGCGB的集

合C的个数为（）

A.3B.4C.8D.16

6.若集合A={x|x=3kT,keZ},B={y集=6m+5,m£Z},则集合A与B的关系是（）

A.A=BB.ACB

C.BcAD.不确定

7.如图所示,M,P,S是V的三个子集,则阴影部分所表示的集合是（）

A.（MAP）ASB.（MAP）US

C.（MAS）A（［SP）D.（MAP）U©P）

8.若实数a,b满足aNO,b2O,且ab=O,则称a与b互补,记<t>（a,b）=Va2+b2-a-b,

那么“小（a,b）=O”是“a与b互补”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分）

9.下列关系中正确的是（）

A.一#ZB.C.|-V2|GQD.OGN

10.已知U为全集,则下列说法正确的是（

A.若AAB=0,则（RA）U（［uB）=U

B.若ACB=0,则A=0或B=0

C.若AUB=。,则([uA)A(CuB)=U

D.若AUB=0,则A=B=0

11.下列说法正确的是()

A."a+l>b”是“a>b”的必要不充分条件

B.若集合A={x|ax2+ax+l=0}中只有一个元素，则a=4或a=0

11

C.若p:Vx£R,——>0,贝卜p:SxGR,——W0

x~2x-2

D.若集合M={0,1},则满足条件MUN=M的集合N的个数为4

12.设全集U={x|x>0},集合M={x|y=V%~l},N={y|y=x2+2},则下列结论正确的是

()

A.MAN={x|x>2}

B.MUN={x|x>l}

C.(CuM)U(CuN)={x|0<x<2}

D.(CuM)A(CuN)={x|0<x<l}

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知集合A={x-l<x<2},B={x|xea},且AcB,则实数a的取值范围

是.

14.为庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动.

已知高一⑴班参演了两个节目，20名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中

国》，10名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》.其中，两个节目都参加的有5名同学,

则这个班表演节目的共有人.

15.若Vx£{x|l<x<2},3te{t|l<t<2},使得x+2〉t+m成立,则实数m的取值范

围是

16.设集合M={1,2,3,4,6},SbS2,…，Sk都是M的含有两个元素的子集,则

k=;若集合A是由SbS2,Sk中的若干个组成的集合,且满足:对任意的

Si={a”bi},Sj={aj,bj（iWj,i,j£{1,2,3,，,,,k））都有aKb”aj<bj,且fW?,贝!JA中

bibj

元素个数的最大值是.

四、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）在①B={x-2<x<3}，②Q={X-3<X<5},③B={x|xea，6}且

AUB={XIx>a）这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解答.

已知非空集合A={x|a〈x〈8-a},,若AAB=0,求a的取值集合.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.（12分）设全集U=R,集合A={x|x2+4x+a=0},B={x|x+bx-2=0}.

（1）若集合A中恰有一个元素,求实数a的值；

⑵若（LA）nB={2},（CuB）AA={-3},求AUB.

19.（12分）设集合A={x|x-3x+2=0},B={x|x2+2（a+1）x+®-5）=0},若AUB=A,求实

数a的取值范围.

20.（12分）已知命题p:Tx£R,使不等式x?-2x-mWO成立”是假命题.

（1）求实数m的取值集合A;

（2）若m£B={m1-4〈111―〈4}是111£人的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

21.（12分）设a,b,c分别为4ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程

x2+2ax+b=0与x2+2cx-b=0有公共实数根的充要条件是NA=90°.

22.（12分）2知p:VmE{m|TWmW1},不等式a'-5a~3分Sn2+8恒成立;q:BxGR,

使不等式x+ax+2<0成立.若p是真命题,q是假命题,求a的取值范围.

答案全解全析

1.B1>收£"相忘5}={1,2,3,4,5},所以［湛={1,4},

所以AA（［十）="}，故选B.

2.D

3.A当a>|b|时,必有a>b,但当a>b时,不一定有a>|b|,取a=l,b=-2,则a>b,但

a<b,

是“a>b”的充分不必要条件.故选A.

4.B对于选项A,令n=|,则（［J=;<|,故A错误；

对于选项B,令n=l,则VmWR,mXl=m成立,故B正确；

对于选项C,令n=-l,则m2<-l显然无解,故C错误；

对于选项D,令n=-l,则(-1)2<-1显然不成立,故D错误.故选B.

5.B由题意可知A={1,3},B={1,2,3,4},若AuCXB,则C={1,3}或{1,3,2}或

{1,3,4}或{1,2,3,4},即满足条件的集合C共有4个.

6.CA={x|x=3k-l,kEZ},B={y|y=6m+5,m£Z}={y|y=3X2(m+l)-1,

m£Z}={y|y=3X2n-l,n£Z},故BCA.故选C.

7.C题图中的阴影部分是MAS的子集,该子集中不含集合P中的元素,且该子集

包含于集合P的补集,故C正确.

8.C由e(a,b)=0,得+b2―a—b=0,即V^T^=a+b,所以ab=O且a20,b20,

所以“6(a,b)=0”是“a与b互补”的充分条件;反之，由a与b互补，可得

aNO,b20,且ab=O,从而有

a2+b2=(a+b)2=>Va2+b2=\a+b|=a+b=6(a,b)=Va2+b2-a-b=O,所以“e(a,b)=0"

是“a与b互补”的必要条件.

故“6(a,b)=0”是“a与b互补”的充要条件.故选C.

9.AD一，4Z,JiGR,|-V2|<OGN,故选AD.

10.ACDA中说法正确，若AAB=。,则©A)U([uB)=Cu(AnB)=U;B中说法错误,若

AAB=0,集合A,B不一定为空集,只需两个集合中无公共元素即可;C中说法正确，

若AUB=0,则©A)A([uB)=[u(AUB)=U;D中说法正确,AUB=。，即集合A,B中均无

任何元素，可得A=B=0.

11.AD对于A,a>b=a+l>b,反之未必，如a=0.5,b=l,a+l>b成立，但a>b不成立，

所以“a+l>b”是“a〉b”的必要不充分条件,A正确;对于B,当a=0时,A=0,不满

足条件，当aWO时，有A=a2-4a=0,解得a=4,所以B不正确;对于C,若

p:Vx£R,—>0,则p:3x£R,—<0或x=2,所以C不正确;对于D,MUN=M=NGM,

X~2X~2

故满足条件MUN=M的集合N的个数为22=4,所以D正确.故选AD.

12.CDVM={x|y=V%-l}={x|xNl},N={yy=x2+2}={y|y22},

.•.MAN={x|x22},MUN={x|x21},故A,B均不正确；

易得［uM={x|0<x<Q},［uN={y|0<y<2},

/.（CuM）U（［„N）={x|0<x<2},（CuM）A（［此={x|0<x<l}，故C,D均正确.

故选CD.

13.答案{a|a<-l）

14.答案25

解析由题可知，只参加合唱的同学有20-5=15（人），只参加诗朗诵的同学有

10-5=5（人），两个节目都参加的同学有5人，

所以这个班表演节目的共有15+5+5=25（人）.

15.答案{m|m<2}

解析由VxG{x|l<x<2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m,

则土e{t|lWtW2},使得t+m〈3成立,故t的最小值小于3-m,即3-m>l,解得m〈2.

因此,实数m的取值范围是

16.答案10:6

解析集合M的含有两个元素的子集为

{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{2,3},{2,4},{2,6},{3,4},{3,6},{4}6},共10个,则

k=10.

因为所以“，2},{2,4},{3,6}中只能取一个，{1,3},{2,6}中只能取一

bibj

个，{2,3},{4,6}中只能取一个,

故A中元素个数的最大值为6.

17.解析选①：因为A是非空集合，

所以8-a>a,（2分）

解得a<4.（4分）

因为B={x卜2<x<3},AnB=0,

所以a23或8-aW-2,（7分）

解得a23或a210.（9分）

综上所述,a的取值集合是{a|3<a<4}.（10分）

选②：因为A是非空集合,所以8-a>a,（2分）

解得a<4.（4分）

因为［RB={X|-3〈x〈5},

所以B={x|xW-3或x25}.（6分）

a>-3,

因为ACB=0,所以8-a<5,

.a<4,

解得3<a<4.（9分）

故a的取值集合是{a13Wa〈4}.（10分）

选③：因为A是非空集合,所以8-a>a,（2分）

解得a<4.（4分）

因为APlB=0,B={x|x2a?+6},AUB={xx>a},

所以a2+6=8-a,（7分）

解得a=-2或a=l,（9分）

故a的取值集合是{-2,1}.（10分）

18.解析⑴由题意得A=16-4a=0,（2分）

解得a=4.（4分）

（2）V（CuA）HB={2},.,.2eB,（5分）

.•.4+2b-2=0,解得b=T.（7分）

V（CuB）AA={-3},.*.-3GA,（8分）

.,.9-12+a=0,解得a=3.（10分）

故A={x|X2+4X+3=0}={-1,-3},B={X|x2-x-2=0}={-1,2},

（CuA）AB={2},（CuB）PA={-3},满足题意,

.,.AUB={-3,-1,2}.（12分）

19.解析由题意得人={1,2}.（1分）

VAUB=A,Z.BcA,（2分）

•通0或{1}或{2}或{1,2}.（3分）

当B=0时，A=4（a+l）-4（a2-5）<0,

解得a〈-3;（5分）

l+l=-2（a+l）

当8={1}时,无解；（7分）

1x1=a2~5,

当B=⑵时,£+：=一+0'解得a=-3;（9分）

（2x2=5,

当B={1,2}时,广+：=”?+0'无解.（11分）

（1x2=a2-5,

综上所述,实数a的取值范围是{a|aW-3}.（12分）

20.解析（1）•.•命题p:"mx£R,使不等式x2-2x-m<0成立”是假命题,

.,「p:"VxGR,不等式x2-2x-m>0成立”是真命题，（1分）

方程x2-2x-m=0无实根，（3分）

A=4+4m<0,解得m<-l,（5分）

即实数m的取值集合A={m|m〈T}.（6分）

（2）B={m-4<m-a<4}={ma-4<m<a+4}.（7分）

若mGB是m£A的充分不必要条件，（8分）

则B星A,故a+4WT,解得a<-5.（11分）

故实数a的取值范围是{a|aW-5}.（12分）

2222

21.证明必要性:设方程x+2ax+b=0与x+2cx-b=0有公共实数根x0,则

+2+2

%o2ax0+b=0,%o2cx0