专题04 相似三角形（重难点突破）（解析版）

专题04相似三角形重点探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似难点探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题易错相似三角形的对应元素出错；用相似三角形相似比求面积关系时出错一、相似三角形的判定1．相似三角形的判定定理①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似．③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似．2．直角三角形相似的判定方法如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．3．判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．【例1】如图，在中，高、相交于点F．图中与一定相似的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：∵，，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，即与一定相似的三角形有3个，故选：C．【例2】在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DEBC的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，解：A．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DEBC；故选项不符合题意；B．当时，△ADE与△ABC不一定相似，∴∠ADE不一定等于∠B，∴不能得到DEBC，故选项符合题意；C．∵，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DEBC；故选项不符合题意；D．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DEBC；故选项不符合题意；故选：B．二、相似三角形的性质运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似.特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根．【例3】如图，，若，，则与的相似比是（

）A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．3∶2【答案】B【详解】解：∵，，∴，∵，∴相似比为：，故选B．【例4】如图，已知和的相似比是，且的面积为2，则四边形的面积为（）A．6 B．8 C．4 D．2【答案】A【详解】解：∵和的相似比是，且的面积为2，∴，∴，∴．故选：A．三、相似三角形应用举例解相似三角形应用题的两个原则：（1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边．（2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这一原则．【例5】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，则树高AB为（

）m．A．5 B． C．7 D．【答案】B【详解】解：，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，即树高．故答案为：．【例6】地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取点A，B，D，使得，然后找到和的交点C，如图所示，测得，则可计算出河宽为（）A．16m B．15m C．14m D．13m【答案】C【详解】解：∵，∴．∴，即，∴．故选C．一、单选题1．如图，，相交于点，且，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，∴，∵，∴，∵，，∴．故选：C．2．若，其相似比为，则与的面积比为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：且相似比为故选：C3．如图，已知，相似比为，则为（）A．2 B．5 C．5 D．1【答案】A【详解】解：∵，相似比为，，∴，故选A．4．如图，，，交于，图中相似三角形共有（

）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】B【详解】解：，，，，，，，，，即，，，，，，．图中相似三角形共有4对．故选：B．5．如图，E是的边的延长线上的一点，连接，交边于点P．若，则与的周长之比为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴与的周长之比；故选A．6．如图，在等边中，点，分别在边，上，且，则有（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：∵等边三角形，∴，且，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，故选：．二、填空题7．如图，已知，，是线段的中点，且，，那么______．【答案】【详解】解：是线段的中点，，，，，，，，即，，∽，，，，故答案为：．8．如图，已知中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，，，，当的长度为______时，和相似．【答案】10或6.4【详解】解：当时，∴，∴，解得：，当时，∴，∴，解得：，∴当的长度为10或6.4时，和相似．故答案为：10或6.4．三、解答题9．如图，在和中，，．(1)求证：；(2)判断与是否相似？并证明．【答案】(1)见解析(2)与相似，理由见解析【详解】（1）证明：，，，又，，；（2）与相似，证明：由（1）知：∽，，，又，与相似．10．如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线于点．(1)求证：．(2)若，，直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，在和中，，∴．∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）解：∵，∴，∵∴∵，，∴，∴．一、单选题1．如图，在和中，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】在中，，，,在和中，，，，故选：B．2．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，、，且为边的中线，，，将沿边上的中线平移得到，，，∴，即，解得或（舍去），．故选：B．3．如图，在中，D、E分别是边、上的点，且∥，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，∴，∵∥，∴，，∴，∴的值为，故选：D．4．如图，已知在中，，，，为的角平分线，过作于点，交于点．则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵中，，，，∴，∵为的角平分线，设到的距离为，则，∴∴即解得如图，过点作，交的延长线于，∴，∵，∴，∵，∴，又∴∴即解得,∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：D．5．如图，在中，点D，E分别是边的中点，与交于点O，连接．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：∵点D，E分别是边的中点∴是三角形的中位线∴，，即②正确；∴，∴,∴，故③错误；，故①正确；∵，∴，即，∴＝，故④正确；综上①②④正确，故选：C．6．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：其中正确的是（

）①；②；③；④A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【详解】∵四边形是正方形，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，故①正确，∵，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∴，故②正确，∵，∴与不相似，故③错误，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故④正确，故选：C．二、填空题7．如图，在中，，，，则______cm．【答案】4【详解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，解得：．故答案为：48．如图，、、、分别为矩形的边、、、的中点，连接、、、、，已知，，则下列结论：①；②∽；③；④正确的是______（填写序号）【答案】②③④【详解】解：，，不能说明，故①错误，不符合题意；，，又，，故②正确，符合题意；如图，连接，由题意得：，，分别是与的中点，，，，即，，在中，，，解得：，，故③正确，符合题意；，，即，故④正确，符合题意，正确的是②③④，故答案为：②③④．三、解答题9．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为．(1)当为多少时，的面积是？(2)当为多少时，与是相似三角形？【答案】(1)．(2)或3．【详解】（1）点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，，；的面积是，，解得，．即当为3时，的面积是；（2）由运动知，，，、是直角三角形，当与相