专题21 双角平分线（解析版）

专题21双角平分线1．如图，已知，，平分，平分，求和的度数．【解答】解：，平分又平分2．如图，在直线上，射线平分，射线在内．（1）若，求证：射线是的平分线；（2）若，，求的度数．【解答】（1）证明：，，，，射线平分，，，射线是的平分线；（2）解：，设，则，，，射线平分，，，，解得：，．3．如图，是内的一条射线，、分别平分、．（1）若，，求的度数；（2）若，，试猜想与、的数量关系并说明理由．【解答】解：（1），，，、分别平分、，，，，；（2），，，、分别平分、，，，．4．已知．（1）如图1所示，若、分别平分和，若，则的度数是；（2）如图2所示，若、分别平分和，，求的度数；（3）若、分别平分和，，则的度数是．【解答】解：（1）由题知，；（2）由题知；（3）①若或至少有一个在内部时，则；②若和都在外部时（如右图），则，综上的度数为或．5．如图，，、分别平分、，如果．（1）求的度数；（2）求的度数．【解答】解：（1），平分，又，；（2）平分，．．6．如图，是平角，，平分，平分．（1）求的度数．（2）若，求的度数．【解答】解：（1）点、、在一条直线上，即，平分，平分，，，；（2），平分，，平分，，．7．如图，是的平分线，是的平分线．（1）若，，那么是多少度？（2）若，，那么是多少度？【解答】解：（1）是的平分线，；是的平分线，，；（2）是的平分线，，，是的平分线，．8．已知，如图，，，、在上，且满足，平分，（1）求的度数（2）若向右平行移动，其他条件不变，那么的值是否发生变化？若变化，找出其中的规律，若不变，求出这个比值（3）若向右平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请直接写出的度数，若不存在，说明理由．【解答】解：（1），，平分，，，；（2），，，，，，是定值；（3）在和中，，，，、、是的四等分线，，，故存在某种情况，使，此时．9．（1）在图一上过点分别画出直线、直线的垂线（直接画出，不必写出做法）；（2）在图二中，，都是直角，射线，分别平分和．若，求的度数．【解答】解：（1）如图，（2），分别平分和，，都是直角，，，．10．如图，是的平分线，是的平分线．（1）如果，，则的度数为；（2）如果，求的度数．【解答】解：（1），，，是的平分线，，，是的平分线，，故答案为：；（2）平分，平分，所以11．如图，是的平分线，是的平分线．如果，，那么是多少度？【解答】解：是的平分线，是的平分线，，，，，．12．如图，在同一平面内，，平分，平分．（1）求的度数；（2）如果将题目中改成，其他条件不变，你能求出的度数吗？若能，写出求解过程若不能，请说明理由．【解答】解：（1），，，平分，平分，，，；（2），，，、平分，，，，．13．已知为一条射线，平分，平分．（1）如图1，当，为内部任意一条射线时，；（2）如图2，当，旋转到的外部时，；（3）如图3，当，旋转到的外部时，求，请借助图3填空．解：因为平分，平分所以，（依据是所以．【解答】解：（1）平分，平分，，，．故答案为：；（2）平分，平分，，，．故答案为：；（3）因为平分，平分，所以，（角平分线定义），所以，，．故答案为：角平分线定义，，，．14．如图，是的平分线，是的平分线．（1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？（2）如图2，当，时，尝试发现与的数量关系；（3）如图3，当，时，①猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可；②当时，直接写出、之间的数量关系．【解答】解（1）是直角，，，，平分，，平分，，．（2），，，，．（3）①；②或．15．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得．（1）如图1，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为；（2）如图2，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数；（3）过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数．【解答】解：（1），，，为的角平分线，，；（2），，为的角平分线，平分，，，；（3）分两种情况：当在的内部时，如图：，平分，，，，平分，，；当在的外部时，如图：，平分，，，，平分，，；综上所述，的度数为或．16．如图①，若线段，点是线段上一动点，点，分别是线段，的中点．（1）求线段的长度．（2）如图①，若线段，点是线段上一动点，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（用含字母的式子表示）；（3）如图②，若，射线是内部一条射线，射线，分别平分，，求（用含字母的式子表示）．【解答】解：（1）、分别是线段、的中点，，，；（2）、分别是线段、的中点，，，．故答案为：；（3）射线、分别平分、，，，．17．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于（1）如图2，当绕点逆时针旋转到与重合时，则100；（2）如图3，当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即时，求的度数；（3）当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即，且，其中为正整数）时，则．【解答】解：（1），，，；故答案为：100；（2），，，，，，，；（3）①当时，如图1，，，，；②当时，如图2，，，，；③当时，如图3，，，，；综上所述：的度数为．故答案为：100．18．将一副三角板如图1摆放，，，平分，平分．（1）；（2）将图1的三角板绕点逆时针旋转度至图2位置．①当时，求的度数；②当时，请直接写出，，之间的数量关系．【解答】解：（1），平分，，，平分，，．故答案为：．（2）①，，，，平分和平分，，，；②由题意可知，，，，，平分和平分，，，．19．已知：，作射线，为平分线；将射线绕点逆时针旋转得到射线．设．（1）如图1，射线在内部，当时，求的度数；（2）随着度数的变化，当时，求的值．【解答】解：（1）如图1，平分，，，，由旋转可知，，；（2）如图，当射线在内部时，平分，，，，，，，，解得；如图，当射线在外部时，平分，，，，，，，，解得；综上，的值为或．20．如图1，把放置在量角器上，与量角器的中心重合，射线、分别对准刻度和，将射线绕点逆时针旋转得到射线．（1）36度；（2）求出的度数；（3）小红在图1的基础上，在内部任意做一条射线，并分别做出了和的平分线和，如图2，发现在内部的不同位置，的度数都是一个定值，请你求出这个定值．【解答】解：（1）由图可得，．故答案为：36；（2）由题意得，，．答：的度数是；（3）和的平分线是和，，，．当在内部的不同位置时，的度数都是一个定值是．21．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点，点和点分别是，的中点．①若，则16；②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由．（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．①若，，求度．②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由．（3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，用含有的式子表示的度数．（直接写出计算结果）【解答】解：（1）①，，，，点和点分别是，的中点，，．．．故答案为：16．②不变，理由如下：点和点分别是，的中点，，，．．又，，．．．（2）①和分别平分和，，．．又，，．．．故答案为：90．②．理由如下：和分别平分和，，．．．．（3），，，，，，，，，．22．已知，如图，从点引出，，，四条射线，，分别是，的角平分线．（1）如图1，若，，，求的度数．①依题意补全图1；②完成下面解答过程．解：如图1，平分，平分，，．角平分线的定义，，，，，，．．（2）如图2，若，，，则的度数是．（3）如图2，若，，则的度数是．（用含，的式子表示）【解答】解：（1）①补全图形如图1，②如图1，平分，平分，，．（角平分线的定义），，，，，，．．故答案为：角平分线的定义；；．（2）如图2，平分，平分，，．（角平分线的定义），，，，，，．．故答案为：．（3）平分，平分，，．（角平分线的定义），，，，，．．23．如图所示，，，是以直线上一点为端点的三条射线，且，，．射线从处开始出发，绕点逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度；射线从处开始出发，绕点顺时针匀速旋转．两条射线同时开始旋转（当射线旋转至与射线重合时，、同时停止运动），旋转时间为秒．（旋转速度旋转角度旋转时间）（1）当10秒，射线平分时；（2）若射线的旋转速度为每秒4度时，请求出当时，射线旋转的时间；（3）若射线的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）作的角平分线此时的运动时间（秒（2），，由题意可得，，①如图所示：②如图所示：此时停止运动时间，以上两种情况均符合当时，的旋转时间为或秒（3）存在．或24．已知：如图1，，．（1）求的度数；（2）如图2，若射线从开始绕点以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动，设旋转的时间为秒，当时，试求的值；（3）如图3，若射线从开始绕点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果）【解答】解：（1），，，，；（2）由（1）知，，，①逆时针运动时，即时，由，的运动可知，，，，相遇前，如图2（1），，即，解得，，相遇后，如图2（