专题02 尺规作图与最短路径（解析版）

专题02尺规作图与最短路径几何中，用（无刻度）的直尺和圆规作图为尺规作图.一.五种基本作图1.作一条线段等于已知线段2.作一个角等于已知角3.作已知角的平分线（理论依据：SSS）4.过一点（直线上或外）作已知直线的垂线5.作已知线段的垂直平分线二.尺规综合作图1.已知三边作三角形2.已知两边及夹角作三角形3.已知两角及夹边作三角形三.最短路径1.单动点（P为直线l上一动点，PA+PB最小）2.双动点（B、C为直线OM，ON上的动点，△ABC周长最小）其中，∠O=90°－∠BAC.△ABC周长为A’A’’的长.3.造桥选址【典例解析】【例1-1】（2020·庆云县月考）某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】解：如图所示：

点P的位置就是饭馆的位置．【例1-2】（2019·舞钢市月考）小安的一张地图上有A，B，C3三个城市，地图上的C城市被墨污染了（如图），但知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，你能用尺规作图帮他在下图中确定C城市的具体位置吗？（不作法，保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】根据作一个角等于已知角的方法分别以AB为边，作∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，两个角的边的交点处就是C的位置．点C为所求的点.【变式1-1】（2020·丽水市莲都区教研室期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【解析】解：①作一个角的平分线的作法正确；

②作一个角等于已知角的方法正确；

③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；

故答案为：A．【变式1-2】（2019·河北南宫期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容：如图，已知，求作：，使．作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；（2）作射线，并以点为圆心，长为半径画弧交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧交（2）步中所画弧于点；（4）作，即为所求作的角．A．表示点 B．表示C．表示 D．表示射线【答案】D【解析】作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．故答案为D．【变式1-3】（2020·山东青岛期中）如图，AB是某条河上的一座桥，现要在河的下游点C处再建一座与AB平行的桥CD，请用直尺和圆规画出CD的方向．【答案】见解析【解析】解：如图，线段CD即为所求．【变式1-4】（2020·广州月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（）A．S．S．S B．S．A．S C．A．S．A D．A．A．S【答案】A【解析】解：由作图知OC=O’C’，OD=O′D'，CD=C′D'，∴△OCD≌△O′C′D′，

∴∠A′O′B′=∠AOB，判断依据为SSS，

故答案为：A．【例2-1】（2020·曲阜月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】解：过D作DE⊥AB于E，AP平分∠CAB．∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30故答案为B．【例2-2】（2020·广东广州月考）如图，△ABC中，，AC=BC．（1）用直尺和圆规作的平分线交BC于点D（保留作图痕迹）（2）过点D画△ABD的边AB上的高DE，交线段AB于点E，若△BDE的周长是5cm，求AB的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，AD即为所作；

（2）∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，

在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AE=AC，

∵AC=BC，

∴BC=AE，

∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，

∴AB=5cm．【变式2-1】（2020·山东博山二模）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（）A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°【答案】D【解析】解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，∴∠AOP=∠AOB=30°（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC＝15°或45°，故答案为：D．【变式2-2】（2020·广东）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．【变式2-3】（2020·山东省陵城区月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=________．【答案】125°【解析】解：由题意可得：AD平分∠CAB，∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°，∴∠CAD=∠BAD=35°，∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°．故答案为125°．【变式2-4】（2020·长春月考）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如图所示，AE平分∠DAC，EF⊥AC，∵∠ACB=68°，∴∠DAC=68°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠EAC=34°，∵EF⊥AC，∴∠AEF=90°-34°=56°．故答案为A.【例3】（2020·禹城市期末）如图，等边中，D为边中点，是的延长线．按下列要求作图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（1）作的平分线；（2）作，且交于点E；（3）在（1），（2）的条件下，可判断与的数量关系是__________；请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）（2）尺规作图，如下图；（3）AD=DE，连接AE，∵等边△ABC中，D为BC边中点，∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠EDC=30°，∵∠ACP=120°，CE为∠ACP的平分线，∴∠ACE=∠ECP=60°，∴∠DEC=30°，∴CE=CD=BD，∴△ABD≌△ACE，∴AE=AD，又∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE.【变式3-1】（2020·福建学业考试）如图，为一钝角三角形，且（1）分别以，为底向外作等腰和等腰（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）已知为上一动点，通过尺规作图的方式找出一点，连接，，使得并证明．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图所示；（2）如图所示，作线段BC的垂直平分线交BC于点P，则P点为所求．证明：延长DP使PF=PD，连接FC，EF∵P为BC中点，∴PB=PC又∵PD=PF，∠DPB=∠CPF∴△BDP≌△CFP∴AD=BD=CF，∠PBD=∠PCF∴BD∥CF∵AE=CE延长DG，FC交于点G∵BD∥CF∴∠FGD=90°又∠AEC=90°∴∠EAG=∠ECG∴∠DAE=∠ECF又AE=CE，AD=CF∴△AED≌△CEF∴EF=ED∵P为DF中点∴DP⊥PD【变式3-2】（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，则下列说法中：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：①连接NP，PM，易证△ANP≌△AMP则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故①正确；②∵∠C=90°，∠B=30°∴∠CAB=60°∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠CAD=30°∴∠ADC=∠BAD+∠B=60°，故②正确；③∵∠BAD=∠CAD=30°∴∠BAD=∠B∴AD=BD，即D在AB的垂直平分线上，故③正确；④∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°∴AD=2CD∴BC=BD+CD=1.5AD，S△DAC=AC·CD=AC·AD∴S△ABC=AC·BC=AC·AD=AC·AD∴S△DAC：S△ABC=1：3，故④正确故答案为：D．【例4-1】（2020·长沙月考）在△ABC中，∠A=50°，点O为△ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当△OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为______度．【答案】80°【解析】解：作点O关于AC的对称点O’，作点O关于AB的对称点O’’，连结O’O’’，

易知当O’，P，Q，O’’四点共线时，△OPQ周长最小，最小值为O’O’’的长此时，∠A=90°－∠POQ∴∠POQ=180°－2∠A=80°；故答案为：80°.【例4-2】（2020·重庆期末）如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为___________．【答案】．【解析】解：作点M关于BD的对称点M’，连接PM’，则PM=PM’，BM=BM’=1，易知，当N，P，M’共线时，且M’N⊥AC时，PN+PM’的最小值为线段M’N的长由∠A=30°，知M’N=AM’=，故答案为：.【变式4-1】（2020·江苏无锡二模）如图，一面镜子斜固定在地面上，且点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为___________．【答案】4【解析】解：作点P关于AO的对称点P’，当P’E⊥OB时，光线经过的路径长最短，∴P’E=10，过P作PF⊥P’D于F，则P’F=2，又∠AOB=60°∴∠ODE=30°，∴∠P’DA=∠PDA=30°，∠P’DP=60°，PD=P’D∴△PP’D为等边三角形，∴P’F=DF=2，PD=P’D=4故答案为：4.【变式4-2】（2020·宜兴市月考）如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当周长最小时，，则_________．【答案】50°【解析】解：作P关于OA，OB的对称点P1、P2，连接OP1，OP2，P1P2．则当M，N，P1、P2共线时，△PMN的周长最小．易知，∠AOB=90°－∠MPN=50°.故答案为：50°.【习题专练】1.（2020·南京月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有_________________个．【答案】4【解析】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个．故答案为4．2.（2020·江阴市月考）在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【解析】解：∵到△ABC三个顶点距离相等，∴该点是三角形三边垂直平分线的交点，根据网格作AC、BC的垂直平分线，可得交点为F，故答案为：B．3.（2020·洛阳市二模）如图，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则MAN的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．13【答案】C【解析】解：由作图可知，DE垂直平分线段AB，PQ垂直平分线段AC，∴MA＝MB，NA＝NC，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．故答案为：C．4.（2020·河南一模）如图，在平行四边形中，，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，则的长为_______．【答案】2.【解析】解：由题意可得，AB⊥OP，AE=BE=3∵BC=AD=8，∠B=60°∴∠BFE=30°，∠BEF=90°∴BF=2BE=6∴CF=8-6=2故答案为：2.5．（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC中，AB＞AC．按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为．【答案】10．【解析】解：易知直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴BD+AD=CD+AD=AB，∵AB=6，AC=4，∴△ADC的周长=（CD+AD）+AC=AB+AC=6+4=10．故答案为10．6.（2020·商城县第二中学月考）如图，已知∠AOB（1）尺规作图：作出∠AOB的角平分线OP，补充完整作图步骤，（保留作图痕迹）①____________________________分别交OA、OB于F，E两点；②____________________________，两条圆弧交于点P；③____________________________即为所求．（2）过点F作FD∥OB交OP于点D，FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD．【答案】见解析.【解析】解：(1)如下图所示：①以O点为圆心，任意长为半径作圆弧分别交OA、OB于F，E两点；②分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段圆弧两条圆弧交于点P；③作射线OP，则射线OP即为所求．故答案为：以O点为圆心，任意长为半径作圆弧；分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段圆弧；作射线OP，则射线OP；(2)根据题意，作出如下图所示：由(1)知，OP是∠AOB的角平分线，∴∠2=∠3，又FD∥OB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴△FMO≌△FMD．7．（2019·广东阳山期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．【答案】见解析．【解析】解：由题意得：AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC则∠BCD即为所求作．8．（2020·陕西清涧期末）如图，直线与相交于点，是直线上一点，请用尺规求作一点，使直线，且点到，两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】解：如图，点E即为所求．9．（2020·北京月考）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∥l作法：如图①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．②连接AC，AB，延长BA到点D；③作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依据）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依据）【答案】见解析．【解析】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．10．（2020·辽宁昌图期末）已知三角形的两角及夹边，求作这个三角形（保留痕迹，不写作法）已知：，线段c，求作，使【答案】见解析．【解析】解：△ABC为所求作11．（2020·北京期末）尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．（1）过一点作一条直线．()（2）过两点作一条直线．()（3）画一条长为3㎝的线段．()（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．()（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．已知：∠AOB．求作：使作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，____________________；（4）过点画射线，则．说理：由作法得已知：求证：证明：()所以()（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线与直线外一点A．求作：过点A的直线，使得．（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．【答案】见解析．【解析】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；（2）过两点作一条直线．可以求作；（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；故答案为：√，√，×，√；[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；（3）以点C′为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．说理：由作法得已知：OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，求证：∠A′O′B′＝∠AOB．证明：在△OCD和△O′C′D′中,，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；[小试牛刀]：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），；[创新应用]：如图所示（答案不唯一）.．12．（2020·山东安丘月考）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，点关于轴的对称点的坐标为．（1）求，的值；（2）画出，并求出它的面积；（3）画出与关于轴成轴对称的图形，并写出各个顶点的坐标．（4）在轴上找一点，使最小（不写作法，保留作图痕