空间向量及其运算的坐标表示7题型分类

一、空间直角坐标系1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．二、空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．三、空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．四、空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3五、空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a,b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).六、空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).（一）求空间点的坐标(1)空间直角坐标系有的作用:可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化;(2)空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标:x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0,y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0,z)．(3)空间直角坐标系中，坐标平面上的点的坐标:Oxy平面上的点的坐标为(x,y,0)，Oyz平面上的点的坐标为(0,y,z)，Oxz平面上的点的坐标为(x,0,z)．(4)建立空间直角坐标系的原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上；②充分利用几何图形的对称性．(5)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另外两个轴上的射影，确定点的坐标.题型1：求空间点的坐标11．（2023春·高二课时练习）在长方体中，，，建立适当的空间直角坐标系并确定点的坐标．【答案】答案见解析【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，.12．（2023·高二课时练习）在直三棱柱中，为等腰三角形，，E、F分别是、BC的中点，且，，请建立空间直角坐标系，并求各点的坐标.【答案】答案见解析【分析】利用，取的中点为，即可以点F为原点，分别以射线FC､FA､为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，再分别求各点坐标即可【详解】设的中点为，以点F为原点，分别以射线FC､FA､为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，，是直角三角形，所以，又E是的中点，则、、、、、、、13．（2023春·高二课时练习）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为，底面ABCD为直角梯形，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．【答案】答案见解析【分析】根据空间直角坐标系的概念以及坐标表示求解.【详解】因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥PA⊥且,所以分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，因为PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为，所以，所以,则.14．（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．【答案】答案见解析【分析】取的中点，的中点，由面面垂直性质可得平面，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标.【详解】取的中点，连接，为正三角形，，；在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，取的中点，则，又平面，平面，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，.（二）空间点的对称问题（1）空间直角坐标系中对称点的坐标：①点(a,b,c)关于原点O的对称点为(a,b,c);②点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,b,c);③点(a,b,c)关于y轴的对称点为(a,b,c);④点(a,b,c)关于z轴的对称点为(a,b,c);⑤点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,c);⑥点(a,b,c)关于Oyz平面的对称点为(a,b,c);⑦点(a,b,c)关于Ozx平面的对称点为(a,b,c).（2）空间点对称问题的两个技巧：①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．题型2：求空间直角坐标系中对称点的坐标21．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数即可求解.【详解】关于轴对称点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，对称点为.故选：C.22．（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】点关于平面的对称点的坐标横纵坐标不变，竖坐标变为相反数.【详解】点关于平面的对称点坐标为.故选：C.23．（2023秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期末）在空间直角坐标系中，点在平面内射影的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据射影的概念，由点在平面内射影的轴方向坐标变为，其它方向坐标不变即可得解.【详解】点在平面内的射影，即向平面作垂线，垂足为射影，故轴和轴方向的坐标不变，轴方向坐标变为，故射影的坐标.故选：A24．（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）在空间直角坐标系中，点与点关于（

）A．原点对称 B．平面xOy对称C．平面yOz对称 D．平面xOz对称【答案】D【分析】由两点的坐标特征得到两点关于平面xOz对称．【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面xOz对称的点的坐标为，点关于平面原点对称的点的坐标为，点关于平面yOz对称的点的坐标为，点关于平面xOy对称的点的坐标为，则根据题中所给的坐标，可以判断它们关于平面xOz对称．故选：D．25．（2023·高二课时练习）已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3，2，1)，M点的坐标为(4，3，1)，则B点的坐标为．【答案】(5，4，1)【分析】设B点的坐标为(x，y，z)，根据点A与点B关于点M对称，列出方程，从而可得答案.【详解】解：设B点的坐标为(x，y，z)，因为点A与点B关于点M对称，则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，所以B点的坐标为(5，4，1).故答案为：(5，4，1).26．（2023春·山东潍坊·高二统考期末）在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则（

）A．点关于点的对称点为B．点关于轴的对称点为C．点关于轴的对称点为D．点关于平面的对称点为【答案】C【分析】利用空间直角坐标系的性质逐个选项判断即可.【详解】点关于点的对称点为，A错；点关于轴的对称点为，B错；点关于轴的对称点为，C正确；点关于平面的对称点为，D错.故选：C（三）空间向量的坐标1、向量坐标的求法：(1)点A的坐标和向量OA的坐标形式完全相同；(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．2、用坐标表示空间向量的步骤：(1)观察图形：充分观察图形；(2)建坐标系：由图形特征建立恰当的空间直角坐标系；(3)活用运算：综合利用空间向量的加减及数乘运算；(4)确定结果：由基向量表示出空间向量，确定坐标.题型3：空间向量的坐标31．（2023·高二课时练习）根据下列条件，分别求向量的坐标：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】由已知点坐标，结合空间向量的坐标表示求的坐标.【详解】（1）由题设，.（2）由题设，.32．（2023秋·广东广州·高二校联考期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求得.【详解】依题意，，所以，所以.故选：D33．（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是的中点，点G在棱CD上，且，H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标．【答案】，【分析】根据空间直角坐标系，求出点的坐标，可求向量和的坐标．【详解】由已知可得点，，，.因为H是的中点，所以H点坐标为.故，.（四）空间向量的坐标运算向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，题型4：空间向量的坐标运算41．（2023春·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.【详解】，故选：D.42．（2023秋·北京海淀·高二人大附中校考期中）在空间直角坐标系中，已知，，点满足，则点的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，根据可得点的坐标.【详解】设，则，由得即，故选：C.43．（2023·高二课时练习）若△顶点，且，，则点C坐标是.【答案】【分析】根据向量的坐标表示有、，即可求C坐标.【详解】由，，可得：，又，同理可得：.故答案为：44．【多选】（2023春·江西宜春·高二灰埠中学校考期末）已知向量，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据向量坐标运算，求解向量的加法、减法的坐标，数量积及向量的模即可.【详解】因为，，所以，，，.故正确的选项为ACD.故选：ACD45．（2023·全国·高一专题练习）若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是.【答案】【分析】设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标．【详解】解：点､，为线段上一点，且，所以，设点的坐标为，则，则，即，解得，即；故答案为：．46．（2023·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为．【答案】【分析】设，然后利用求解即可.【详解】设，因为四边形为平行四边形，所以，所以，所以，所以，即.故答案为：.47．（2023秋·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（

）A．0 B．5 C．9 D．【答案】D【分析】根据条件，利用空间向量基本定理即可求解出结果.【详解】因为，，所以与不共线，又，，三向量不能构成空间向量的一组基底，所以，，三向量共面，所以存在唯一的实数对，使，即，解得．故选：D.48．（2023秋·云南红河·高二云南省泸西县第一中学校考期中）已知空间向量，若共面，则(

)A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】根据共面向量，得到对应关系，求出的值即可．【详解】若、、共面，则，即，1，，，，故，故，故选：B．49．（2023春·高二单元测试）已知向量，，，则为（

）A．10 B．－10C．12 D．－12【答案】A【分析】由空间向量坐标运算求解.【详解】由题意，.故选：A410．（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知，且，则m=（

）A．1 B．1 C．2 D．2【答案】A【分析】由向量坐标的乘法运算即可求得.【详解】因为且所以解得.故选：A411．（2023秋·高二课时练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接求解即可.【详解】因为向量，所以向量在向量上的投影向量为，故选：B（五）空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a,b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).注：利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系．(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标．(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算．(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题．题型5：空间向量的平行、垂直问题51．（2023·江苏·高二专题练习）已知m，n是实数，若点，在同一直线上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三点共线列方程，化简求得，进而求得.【详解】，依题意，三点共线，所以，解得.故选：A52．（2023春·江苏徐州·高二徐州高级中学校考期中）已知，，则与向量平行的一个向量的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量共线定理判定即可.【详解】,则与向量平行的一个向量的坐标为.故选:C.53．（2023春·高二单元测试）已知向量，，若，则的值可能为（

）A． B．C． D．2【答案】C【分析】根据空间向量的平行，列式计算，可得答案.【详解】由题意向量，，且，故，且，解得，或，则的值为或，故选：C54．（2023春·甘肃临夏·高二校考期中）已知向量，，且，则实数k的值为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线条件列式计算作答.【详解】向量，，则，因为，则，解得，所以实数k的值为.故选：C55．（2023·全国·高三对口高考）已知，则直线与平面的交点为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线与平面的交点为，根据空间向量共线的坐标表示即可求解.【详解】设直线与平面的交点为，三点共线，，，则，解得，则.故选：D56．（2023秋·高二课时练习）已知，单位向量满足，则．【答案】或【分析】设向量，其中，由，得到方程组，进而求得的值，即可求解.【详解】设向量，其中，因为且，可得，即，将代入，可得或，所以向量的坐标为或.故答案为：或.57．（2023·全国·高三对口高考）已知四点坐标，若，则；若，则．【答案】【分析】分别求出的坐标，利用向量平行与垂直的条件，列式求解即可.【详解】，若，则，即，得，解得；若，则，即，解得.故答案为：；.62．（2023·高二课时练习）已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为．【答案】【分析】根据空间向量的坐标运算列方程化简计算即可.【详解】依题意，得，设，则，所以，若，则，即，解得，即．故答案为：58．【多选】（2023春·江西·高一吉安三中校考期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量的长度为【答案】BD【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的长度即可解决.【详解】对于A，由题得，而，故A不正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，故C不正确；对于D，因为在上的投影向量的长度为，故D正确；故选：BD.题型6：空间向量的夹角与距离问题61．（2023春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，设异面直线与所成角为，则.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.62．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量，，且，则与的夹角的余弦值为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据求出，再根据夹角公式求解.【详解】，因为，解得，即.所以.故选:B.63．（2023·高二课时练习）已知，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出向量的坐标，然后利用数量积夹角坐标公式直接计算即可.【详解】因为，，所以，，所以.故选：C64．（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解.【详解】因为，所以，，因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，而当时，，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：65．【多选】（2023秋·黑龙江黑河·高二校联考阶段练习）已知，若为钝角，则实数的值可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】BC【分析】由为钝角，可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围，进则可得答案.【详解】因为，为钝角，所以且与不共线，由，得，得，当与时，令，则，得，所以当且时，为钝角，故选：BC66．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的平行、垂直关系求，再根据空间向量的坐标运算求夹角.【详解】∵，∴，解得，即.又∵，注意到，则，使得，∴，解得，故.∴，∴，又，∴.故选：B.67．（2023春·福建漳州·高二统考期末）已知空间向量，若，则（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列式求出，再根据空间向量的线性运算和模长公式可求出结果.【详解】因为，所以，得，，所以，所以.故选：C68．（2023秋·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足，，则.【答案】【分析】利用空间向量的坐标运算求两点间的距离.【详解】如图,将正四面体ABCD放在正方体中,则正方体的边长为,因为，,所以,所以,所以.故答案为：.69．（2023春·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知，若，，那么的最小值为．【答案】【分析】根据已知，利用向量的减法运算、模长公式的坐标形式以及二次函数计算求解.【详解】因为，，所以，所以，所以的最小值为.故答案为：.610．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，且，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】对两边平方，列出方程解出．【详解】，，．∵，∴．即，∴，∵，∴．故选：D．（六）空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).2、利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．题型7：求空间两点间的距离71．（2023秋·吉林白城·高二校考期中）若，，则（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可【详解】因为所以故选:A72．（2023秋·高二课时练习）已知，，点在轴上且，则点坐标为.【答案】.【分析】由题意，设出所求点的坐标，根据等量关系列出方程，求得答案.【详解】设，∵，∴，解得.∴点坐标为.故答案为：.73．（2023春·福建宁德·高二统考期末）已知空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，则边上中线的长度为．【答案】【分析】根据空间向量中点坐标以及两点间距离公式计算即可；【详解】设的中点为，因为，，所以，则,故答案为：.一、单选题1．（2023春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.2．（2023秋·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点与两点的位置关系是（）A．关于轴对称B．关于平面对称C．关于坐标原点对称D．关于平面对称【答案】C【分析】根据空间点的坐标的概念逐项分析可得答案.【详解】关于轴对称的两个点的纵坐标相等，故A不正确；关于平面对称的两个点的横坐标相反，纵坐标、竖坐标都相等，故B不正确；关于坐标原点对称的两个点的横坐标、纵坐标、竖坐标都是相反数，故C正确；关于平面对称的两个点的纵坐标相反，横坐标、竖坐标相等，故D不正确.故选：C3．（2023·全国·高二专题练习）已知向量,则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出,利用向量坐标运算法则直接求解.【详解】∵向量,∴.故选:B.4．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的坐标运算计算即可．【详解】．故选：D．5．（2023秋·江西上饶·高二江西省余干中学阶段练习）已知向量，，，若共面，则等于（

）A． B．1 C．1或 D．1或0【答案】A【分析】根据向量共面可得，进而可得，即得答案.【详解】因为共面，所以存在实数，使，所以，∴，解得.故选：A.6．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.【详解】由题意知，由，得，解得.故选：B.7．（2023·全国·高二专题练习）若向量、的坐标满足，，则等于（

）A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7【答案】B【分析】利用向量的运算和数量积运算即可得出．【详解】∵，．∴．故选：B．8．（2023春·辽宁阜新·高二校联考阶段练习）已知向量，若，则（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【分析】由向量平行的坐标表示求得，再由向量的模的定义计算．【详解】由题意，解得，即，．故选：D．9．（2023秋·广东东莞·高二东莞市光明中学校考期中）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵，且空间向量满足，∴可设，又，∴，得．∴．故选：A．10．（2023·高二课时练习）已知点是所在的平面外一点，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量坐标计算得出，，再结合空间向量平行和垂直的判定验证选项即可得出结果.【详解】依题意，有，．对于A选项，因为，所以与不平行，故A选项错误；对于B选项，，所以与不平行，故B选项错误；对于C选项，，所以，所以C选项正确；对于D选项，，所以D选项错误，故选：C.11．（2023秋·高二单元测试）已知向量，，若，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先计算出向量与的夹角为，再根据求出答案.【详解】设向量与的夹角为，因为，所以，，因为，所以.因为，即与的方向相反，所以与的夹角为.故选：C12．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令与共线，求出的值，依题意且与不反向共线，根据数量积的坐标表示得到不等式组求解即可.【详解】因为，，令与共线，则，即，即，解得，此时，，即，与反向，又与的夹角为钝角，所以且与不反向共线，即且，解得且，故选：C13．（2023秋·高二单元测试）已知向量，则（）A． B．4 C．5 D．【答案】D【分析】根据空间向量的线性坐标运算及模长公式求解即可得答案.【详解】因为，所以.故选：D.二、多选题14．（2023春·甘肃临夏·高二校考期中）已知向量，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．不存在实数，使得D．若，则【答案】ACD【分析】运用空间向量的垂直、共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算、模的运算，逐项判断即可.【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确；对于B项，由可得，解得，故B项错误；对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.故选：ACD.15．（2023春·江西九江·高二校考期末）已知向量，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．的最小值为2 D．的最大值为4【答案】ABC【分析】根据空间向量共线定理即可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可判断CD.【详解】对于A，若，且，，则存在唯一实数使得，即，则，解得，故A正确；对于B，若，则，即，解得，故B正确；，故当时，取得最小值，无最大值，故C正确，D错误.故选：ABC.16．（2023秋·高二单元测试）已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A． B．C．） D．与夹角的余弦值为【答案】BCD【分析】对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．【详解】因为，且，故A不正确；因为，，则，故B正确；因为，，故C正确；由于，，所以，所以D正确.故选:BCD.三、填空题17．（2023秋·北京·高二对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期中）空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为.【答案】【分析】设出点C的坐标，列出方程组，求出点C的坐标.【详解】设点C的坐标为，故，解得：，故点C的坐标为.故答案为：18．（2023·高二课时练习）若点关于点对称的点是,则．【答案】【分析】根据题意为的中点,根据中点坐标公式求解即可.【详解】因为点关于点对称的点是,即为的中点,所以,解得,故.故答案为:.19．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知点，，向量，则点的坐标为．【答案】【分析】由向量的坐标运算计算即可.【详解】设，则，即，故.故答案为：20．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）已用，，则在方向上的投影向量为．【答案】【分析】用在方向上的投影乘以与同向的单位向量可得结果.【详解】在方向上的投影向量为.故答案为：21．（2023春·上海虹口·高二统考期末）已知空间三点，，共线，则，．【答案】36【分析】利用向量平行列方程组即可求解.【详解】由已知得：.因为A，B，C三点共线,所以.所以，解得：p=3，q=6.故答案为:3;622．（2023秋·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知，．若，则μ＝；若，则λ+μ＝．【答案】【分析】根据垂直得到，根据平行得到，计算得到答案.【详解】，故；，则，即，故，解得故.故答案为：；.【点睛】本题考查根据向量的垂直平行求参数，意在考查学生的计算能力.23．（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为.【答案】【分析】根据空间向量与的夹角是锐角可得且与不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解.【详解】因为与的夹角是锐角，所以，即