毕业论文（设计）-条件期望与方差的性质及其应用

条件期望与方差的性质及其应用摘要条件期望与条件方差是概率论中一个重要概念，在数学中的应用很广泛，在解决生活问题也常常用到.本文首先介绍了条件数学期望的和条件方差的定义及其相关性质，然后通过举例说明了条件期望与方差在线性预测、Wald方程、Markov过程、鞅论等方面的应用.从而进一步加深了对条件期望和方差的理解.关键词条件期望条件方差Wald方程线性预测Markov过程目前，随着概率的应用越来越广泛，条件期望与条件方差也越来越受重视，研究条件期望与条件方差有巨大的理论价值.期望在现实生活中的应用在很多书上没有系统的给予论述，这篇文章从条件期望与条件方差的定义及其性质出发，研究条件期望与条件方差在一些具体方面的应用，为科学的理解其应用给出依据.2.条件期望与方差的定义及其性质2.1条件期望和条件方差的定义定义1设(ξ,η)为二维离散型随机变量，其联合概率分布列为父父父则称Xkp(ξ=Xkη=Yl）为ξ在给定η=Yl条件下的条件期望.父父若级数Xkp(ξ=Xkη=Yl）发散，就说ξ在给定η=Yl条件下的条件期望不存在.父k父k父k）为η在给定ξ=Xk条件下的条件期望.安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文父k父k）发散，就说η在给定ξ=Xk条件下的条件期望不存在.ξη01234000 1 21 2 21 1 4210 1 2 7 1 702 1 70 1 7 1 70031105 1 42000解ξ与η的边际分布列分别为所以所以定义2设(ε,η)为二维连续随机变量，其联合概率密度函数为p（x,y）(xy)dx绝对收敛，即：则称(xy)dx为ξ在给定η=y条件下的条件期望.记作E(ξη=y即(xy)dx4)7安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文(xy)dx发散，就说ξ在给定η=y条件下的条件期望不存在.ypηξ(yx)dy绝对收敛，即则称ypηξ(yx)dy为η在给定ξ=x条件下的条件期望ypηξ(yx)dy(yx)dy发散，就说η在给定ξ=x条件下的条件期望不存在.ydy222，p解ξ在η=y条件下的条件分布为正态分布12pσ2σ1η在ξ=x条件下的条件分布为正态分布N(pσ2σ1于是可得22222）定义3设二维随机变量(X,Y),把在X=x条件下Y的条件分布的期望记作：mYX(x)=E(Yx).称mYX(X)为Y关于X的条件期望，记作E(YX),即mYX(X)=E(YX).注意：E(YX)是一个随机变量，它是X的函数.类似的，设二维随机变量(X,Y),把在Y=y条件下X的条件分布的期望记作：mXY(y)=E(Xy).称mXY(Y)为X关于Y的条件期望，记作E(XY),即mXY(Y)=E(XY).2.2条件数学期望与条件方差的性质性质1设ξ,η,ζ为概率空间(Ω,f,p）上的随机变量，g(x)为r上的博雷尔可(1)当ξ与η相互独立时，E(ξη)=E(ξ)；(2)E[E(ξη)]=E(ξ);(7)E[(aξ+bη)ζ]=aE(ξ证明（1）因为ξ与η相互独立，所以F(x,(x),于是对使E(ξy）存在的任意实数y有xdFξ(x)=E(ξ)，i父父E(ξ)=E(ξAk)p(Ak)，称上式为全数学期望公式，它对数学期望的计算很有用.当(ξ,η)为连续型时，设f(x,y)为其密度函数，则E[E(ξη)]=E(ξy)dFη(y)xdx]fη(y)dyxf(x,y)dx]dy父+父f(x,y)xfξ(x)dx一般地有全数学期望公式E(ξη=y)dFη(y)（3）只需证明对任意使E[g(η)ξy]存在的y都有E[g(y)ξy]=g(y)E(ξy)因为E(ξy)=伪伪xdF(xy)，故当y固定时，g(y)xdF(xy)xdF(xy)=g(y)E(ξy).（5）把C看成退化的且仅取C值的随机变量ξ,则xdF(xy)=C伪伪dF(xy)=C故（7）设F(x,y,z)为(ξ,η,ζ)的分布函数，则对任意固定的z我们有ax+by)dF(x,yz)bydF(x,yz)故得E[xξ+bηζ]=aE(ξζ)+bE(ηζ)，其中E[(ξ-g(η))2η]=E{ξ-E(ξη)+E(ξη)-g(η)2η}又因为E(ξη)-g(η)只是η的函数，由（3）得E{[ξ-(ξη)][E(ξη-g(η)]η}=0所以可得E[ξ-E(ξη)]2<E[ξ-g(η)]2定义4（条件方差）因为对任一随机变量ξ,有公式D(ξ)=E(ξ2）-[E(ξ)]2，如果E{[η-E(ηξ)]2ξ}存在，则称它为给定ξ下η的条件方差.记为D(ηξ),即：D(ηε)=E{[η-E(ηξ)]2ξ}类似地给定η下，ξ的条件方差定义为用条件期望与条件方差可表示无条件方差.E{[ηE(ηξ)][E(ηξ)E(η)]ξ}=[E(ηξ)E(η)]E{[ηE(η,ξ)]ξ}=[E(ηξ)E(η)][E(ηξ)E(ηξ)]=0所以ξ]2两边取数学期望再注意到公式E[E(ηε)]=E(η)，得：3、条件期望与条件方差的应用3.1线性预测中的应用例3若以ε与η分别表示中国成年人的身高与足长，则E(εη=y)就表示足长为y的中国成年人的平均身高.解一般可以认为(ε,η)服从二维正态分布N(μ1,μ2σ，σ，p）由条件期望的例2可知121σ21σ22σ2y2p的估计值，于是E(εη=y）就可估计出.对于成年男性来说，警方科研人员通过研究得到这是根据足长预测身高的一个经验公式（单位：cm对破案起着重要作用.设X1,,Xn是独立同分布随机变量，EX1<伪，N是一个取正整数值的随机变量，且与X1,,Xn独立，EN<伪，则EXk=EN.EXly.证明3．3Markov链中的应用一个随机过程如果给定了当前时刻t的值Xt,未来s持t的值Xs不受过去Xu(u<t)的影响就称为是有Markov性.如果一个过程具有Markov性,则称该过程为Markov过程.特别地,当状态空间S为至多可列集时,Markov过程称为Markov链.设(Xn,n之0)为一关于(Fn)适应的随机变量序列，称(Xn,n之0)为鞅（上鞅，下鞅如果每个Xn为可积，且E[Xn+1Fn]=Xn(<Xn,之Xn)如果进一步每个Xn为平方可积，称(Xn,n之0)为平方可积鞅（上鞅，下鞅）结束语对于条件期望和条件方差的研究在概率论中是一个重要的问题，本文在前人研究的基础上从条件期望和条件方差定义出发，总结并得出了它们的有关性质.并研究了它们在实际生活中的例子，很好的体现了条件期望和条件方差在生活方面的应用.参考文献[1]魏宗舒.概率论与数理统计[M].北京.高等教育出版社，1983：161-168.[2]严加安.测度论讲义[M].北京.科学出版社，2000[3]严士健，刘秀芳.测度与概率[M].北京.北京师范大学出版社，2006[4]孙荣恒.应用概率论[M].北京.科学出版社，2006[5]戴朝寿.概率论简明教程[M].北京.高等教育出版社，2008[6]戴朝寿.数理统计简明教程[M].北京.高等教育出版社，2010SomepropertiesofconditionalexpectationandvarianceanditsapplicationsAuthor:YangJunTutor:HuXuepingAbstractConditionalexpectationandvarianceconditionsareimportantconceptsinthetheoryofprobability,whichwidelyapplyinmathandoftensolveproblemsinlife.ThisarticlefirstintroducesthedefinitionandrelatedconditionspropertiesoftheConditionalexpectationandvarianceconditions.Thenitexplainsthatconditionsexpectationandvarianceapplyinlinearforecast,WaldMarkovprocessequation,andthe