上海通河中学高三数学文月考试题含解析

上海通河中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是（）A．2π B．4π C．8π D．10π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴×2×1×sin60°×AA1=，∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=．设△ABC外接圆的半径为R，则=2R，∴R=1．∴外接球的半径为，∴球的表面积等于4π×（）2=8π．故选：C．2.

已知，函数与函数的图象可能是（

）参考答案：B3.已知圆，点，A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得，则当m取得最大值时，点M的坐标是A．

B．

C．

D．参考答案：C由题得圆的方程为设由于，所以由于表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，此时最大，m也最大.故选C.

4.若一个正三棱柱的底面边长为2，高为2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C5.已知点在由不等式确定的平面区域内，则点所在的平面区域面积是（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C6.设a=60.4，b=log0.40.5，c=log80.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=60.4＞1，b=log0.40.5∈（0，1），c=log80.4＜0，∴a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有（

）A.156种 B.168种 C.180种 D.240种参考答案：B【分析】先求出从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有多少种选法，然后再求出服务队中没有女生有多少种选法，两数相减即可.【详解】从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有种选法，服务队中没有女生的选法有种，所以要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有种选法，故本题选B.【点睛】本题考查了组合问题、分步计算原理.本题采用的是间接法来求解，当问题的正面的好多种情况时，可以看它的反面情况，这样求解起来简单.8.在等差数列{an}中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，则数列{an}的前9项和S9=(

)A．﹣11 B．13 C．45 D．117参考答案：C【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，∴，解得d=2，a1=﹣3．∴S9=9×（﹣3）+=45．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的一个焦点坐标是（

）

A．

B．（2,0）

C．

D．参考答案：C试题分析：由双曲线的基本性质可得，的渐近线方程为，将点代入可得，则，即，则可得双曲线的一个焦点坐标是，故选共项为C.考点：双曲线的基本性质.10.若关于的方程存在三个不等实根，则实数a的取值范围是A. B.

C. D.参考答案：C由题意知，令，的两根一正一负，由的图象可知，，解得.故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面上不共线的四点O，A，B，C．若＋2＝3，则的值为__________.参考答案：略12.设△ABC的外心P满足，则__________．参考答案：【分析】根据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果.【详解】设BC中点为M,所以,因此P为重心，而为的外心，所以为正三角形，.【点睛】本题考查向量表示以及重心性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.13.数列{an}通项为an=ncos（+）（n∈N*），Sn为其前n项的和，则S2012=．参考答案：503（1+）略14.已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M–EFGH的体积为

.参考答案：分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.详解：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，顶点到底面四边形的距离为，由四棱锥的体积公式可得：.

15.已知向量满足：，且，则向量与的夹角是_____________.参考答案：16.若函数对于任意实数满足条件，若，则____

_.参考答案：5由已知，，，所以

.17.设函数，且f（x）为奇函数，则g（）=

．参考答案：1【分析】计算f（），根据奇函数的性质得出g（﹣）．【解答】解：f（）=log2=﹣1，∵f（x）是奇函数，∴g（﹣）=f（﹣）=﹣f（）=1．故答案为：1．【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆经过椭圆的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当的面积取到最大时，求直线的方程.参考答案：（1）令圆方程中，得：，三点共线，即为圆的直径，则由直径所对圆周角为直角得：由三角形中位线定理得：，又（等于圆直径），即点则由椭圆的定义：，，又所以椭圆的方程为：；（2），所以，设，联立方程组：，又点到直线的距离为，于是当且仅当时取得等号所以，此时直线的方程为.19.乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.参考答案：20.已知：函数对于任意有，且当时，，则以下命题正确的是：①函数是周期为2的偶函数；②函数在上单调递增；③函数的最大值是4；④若关于的方程有实根，则实数m的范围是；⑤当时，。其中真命题的序号是

参考答案：①②④略21.（本小题满分14分）如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E、F分别为棱BC、AD的中点．（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．（Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

参考答案：解：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形T∥且=T为平行四边形T∥T的所成角．中，BF=

,PF=，PB=3TT异面直线PB和DE所成角的余弦为………………6分（Ⅱ）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,可得如下点的坐标：P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有：

因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为，

设平面PFB的一个法向量为，则可得

即

令x=1,得，所以.

由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得：，解得．………12分因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为．………14分22.在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．参考答案：考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin（θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答： 解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα