江苏省南京市石湫中学高一数学理上学期期末试卷含解析

江苏省南京市石湫中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长（包括底面边长）都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是（

）A．

B．

C．

D．2

参考答案：B取AC的中点M，连接FG,EG易证FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=BC；∠EFG为所成角，在Rt△EFG，易得2.已知,且，则A的值是（

）A.15

B. C.±

D.225

参考答案：B略3.在△中，已知,,，则（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D略4.函数的部分图象如图示,则将的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为（）A． B． C．

D．参考答案：C5.抛物线的顶点坐标是（

）A．（2，0）

B．（2，-2）

C．（2，-8）

D．（-2，-8）参考答案：C略6.在区间[1,6]上随机选取一个数a，则的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据几何概型概率公式直接求解可得结果.【详解】由几何概型概率公式可知，所求概率本题正确选项：C【点睛】本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题.7.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为（）A． B．5 C． D．2参考答案：A【考点】斜二测法画直观图．【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出△ABC实际为一个直角边长分别为3，4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【解答】解：∵直观图中A′C′=3，B′C′=2，∴Rt△ABC中，AC=3，BC=4由勾股定理可得AB=5则AB边上的中线的实际长度为故选：A8.已知集合，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.（4分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（） A． a＜b＜c B． c＜b＜a C． c＜a＜b D． b＜a＜c参考答案：A考点： 对数值大小的比较；指数函数单调性的应用．分析： 易知a＜0

0＜b＜1

c＞1故a＜b＜c解答： 解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选A．点评： 本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识．10.设R,向量且,则（）A．-3 B．5 C．-5 D．15参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为

.参考答案：（0，]12.函数的单调减区间为_______________.参考答案：略13.下列四个命题：（1）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上也单调递增，所以f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是增函数；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0；（3）符合条件{1}?A?{1，2，3}的集合A有4个；（4）函数f（x）=有3个零点．其中正确命题的序号是．参考答案：（3）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明（1）（2）错误；求出满足{1}?A?{1，2，3}的集合A判断（3）；要求f（x）=的零点个数，只要分别判断函数h（x）=lnx﹣x2+2x（x＞0），与g（x）=4x+1（x≤0）的零点个数，再求和即可．【解答】解：对于（1），函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上也单调递增，但f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不一定是增函数，如f（x）=﹣，故（1）错误；对于（2），当a=b=0时，函数f（x）=ax2+bx+2=2，与x轴没有交点，b2﹣8a=0，故（2）错误；对于（3），符合条件{1}?A?{1，2，3}的集合A有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}共4个，故（3）正确；对于（4），由f（x）=0可得lnx﹣x2+2x=0（x＞0），或4x+1=0（x≤0）．由4x+1=0得x=﹣，故g（x）=4x+1（x≤0）的零点个数为1，由lnx﹣x2+2x=0得lnx=x2﹣2x，令y=lnx，y=x2﹣2x（x＞0），作出函数y=lnx，y=x2﹣2x（x＞0）的图象，结合函数的图象可知，y=lnx，y=x2﹣2x（x＞0）的图象有2个交点，即函数f（x）=的零点个数是3，故（4）正确．故答案为：（3）（4）．14.经过点,且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为____________________.参考答案：略15.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是． 参考答案：【考点】平面图形的直观图． 【专题】计算题． 【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可． 【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+， S=（1++1）×2=2+． 故答案为：2+． 【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查． 16.若对于函数的定义域中任意的，（），恒有和成立，则称函数为“单凸函数”，下列有四个函数：（1）；（2）；（3）；（4）．其中是“单凸函数”的序号为

．参考答案：（2）（3）根据“单凸函数”的定义，满足的函数是增函数，所以（4）不是，对于（1）当，时，，不符合定义，对于（2）（3）符合定义，故填（2）（3）.

17.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为

．参考答案：4050设每辆车的月租金定为X元，则租赁公司的月收益：当时，f(x)最大，最大值为，即当每车辆的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是，故答案为4050.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；（Ⅱ）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，求选取的名领队中恰有1人年龄在岁的概率参考答案：19.（12分）（1）已知﹣＜α＜0，sinα=﹣，求tanα+sin（﹣α）的值；（2）已知tan（π+θ）=3，求的值．参考答案：考点： 同角三角函数基本关系的运用．专题： 三角函数的求值．分析： （1）由α的范围及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出tanα的值，原式利用诱导公式化简后把各自的值代入计算即可求出值；（2）已知等式利用诱导公式化简求出tanθ的值，原式利用同角三角函数间的基本关系整理后，将tanθ的值代入计算即可求出值．解答： （1）∵﹣＜α＜0，sinα=﹣，∴cosα==，tanα==﹣，则原式=tanα+cosα=﹣+=﹣；（2）由题意得tanθ=3，则原式====．点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．20.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（I）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理易得，四边形ABMN为平行四边形，即BM∥AN，再由线面平行的判定定理即可得到BM∥平面ADEF；（II）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，我们易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．【解答】证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点∴MN∥CD，且MN=CD，由已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，∴MN∥AB，且MN=AB∴四边形ABMN为平行四边形∴BM∥AN又∵AN?平面ADEFBM?平面ADEF∴BM∥平面ADEF（II）∵ADEF为正方形∴ED⊥AD又∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED?平面ADEF∴ED⊥平面ABCD∴ED⊥BC在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2在△BCD中，BD=BC=2，CD=4∴BC⊥BD∴BC⊥平面BDE又∵BC?平面BEC∴平面BDE⊥平面BEC【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键．21.（本小题满分12分）数列的前项和为，，，等差数列满足，．（Ⅰ）求数列，数列的通项公式；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：设等差数列公差为，则，解得，，…（2分）当时，，则，是以为首项为公比的等比数列，则.

…………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式可化为

…………（8分）若对任意的恒成立，，问题转化为求数列的最大项令，则，解得，所以， ………………（10分）即的