浙江省台州市东浦中学高三数学文下学期期末试卷含解析

浙江省台州市东浦中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数满足条件，则不等式成立的概率为．

．

．

．参考答案：如图，观察发现直线和在区间上的唯一交点为，则使条件成立的区域为图中阴影部分，由定积分和几何概型的知识得到答案．2.F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是的重心，若，则双曲线的离心率是（

）

A．2

B．C．3

D．参考答案：C略3.若，则的解集为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.4.已知集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：C5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为(

)A.8 B.12 C. D.20参考答案：B【分析】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，底面为正方形，根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积.【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为2，设四棱锥的高为，则依题意有所以，所以侧面的高为所以四棱锥的侧面积，所以该四棱锥的表面积为：.故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，锥体体积公式应用，表面积的求法，属于基础题.6.计算的结果为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B所以选B

7.若数列{an}满足﹣=1，且a1=5，则数列{an}的前100项中，能被5整除的项数为（）A．42 B．40 C．30 D．20参考答案：B【考点】数列递推式．【分析】由﹣=1，数列{}是以=1为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列通项公式=n，求得an=2n2+3n，由通项公式分别求得每10项，有4项能被5整除，即可得到数列{an}的前100项中，能被5整除的项数．【解答】解：由数列{an}满足﹣=1，即﹣=1，∴=1，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴=n，∴an=2n2+3n，由题意可知：项12345678910个位数5474509290∴每10中有4项能被5整除，∴数列{an}的前100项中，能被5整除的项数40，故答案选：B．8.设函数，其中，若仅存在两个正整数x0使得，则a的取值范围是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A9.如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是(

)A．

B.

C.

D.

参考答案：A10.已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则抛物线的准线方程为(

)

A.x=-1

B.x=-2

C.y=-1

D.y=-2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，则实数a=，此时函数y=f（x）在[0，1]最小值为．参考答案：，

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数，利用函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，求出a的值，确定函数的单调性，即可求出函数y=f（x）在[0，1]最小值．【解答】解：由f（x）=x3+2ax2+1，得到f′（x）=3x2+4ax，因为函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，所以f′（1）=1，即3+4a=1，解得a=．f′（x）=3x2﹣2x，x∈（0，），f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（，1），f′（x）＞0，函数单调递增，∴函数y=f（x）在[0，1]最小值为f（）=．故答案为，．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了导数的几何意义，考查函数的最小值，是个基础题．12.已知实数x，y满足线性约束条件，若x﹣2y≥m恒成立，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣6]【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的意义，转化求解目标函数的最小值，求出m的范围即可．【解答】解：实数x，y满足线性约束条件的可行域如图：若x﹣2y≥m恒成立，则m小于等于x﹣2y的最小值．平移直线x﹣2y=0可知：直线经过可行域的B时，目标函数取得最小值，由可得B（2，4），则x﹣2y的最小值为：2﹣8=﹣6，可得m≤﹣6．给答案为：（﹣∞，﹣6]．13.已知在中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是

．（把你认为是正确论断的序号都写上）①若，则；②若，，，则满足条件的三角形共有两个；③若，，成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形；④若，，的面积，则.参考答案：①③14.已知函数,若函数有3个零点，则实数m的取值范围是

．参考答案：(0,1)15.《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第六日所走时数为里．参考答案：150【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意设比人从第二日起每日此前一日多走d里，第一日走a1里，由等差数列通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出第六日所走里数．【解答】解：设该男子第一日走a1里，后一日比前一日多走d里，则由等差数列的性质，得：，解得d=10，a1=100，∴a6=100+50=150．故答案为：150．【点评】本题考查第差数列在生产生活中的实际运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．16.已知向量,则的取值范围是_______.参考答案：答案：

17.已知正四棱锥(底面是正方形且顶点在顶面的射影是底面正方形的中心的棱锥叫做正四棱锥)的体积为，底面边长为，则正四棱锥内切球的表面积为________．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（I）（II）参考答案：（I） 圆C的直角坐标方程为

直线C的直角坐标方程为x+y-4=0.

解

所以交点的极坐标为，注：极坐标系下点的表示不唯一.（II） （II）由（I）可得，P点与Q点的直角坐标分别为（0,2），（1,3）.故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=.所以

解得,19.（本题满分12分）已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．参考答案：20.（12分）某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课．为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上的概率．参考答案：【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据频率分布直方图矩形面积之和为1，可求出直方图中的a的值；（Ⅱ）先求出上学所需时间的平均值，再与20比较即可得到答案；（Ⅲ）根据分层抽样确定[30，40）和[40，50）抽取的人数，列举任意抽取两人的基本事件，找出恰有一个学生的单程时间落在[40，50]上事件包含的基本事件，利用概率公式计算即可．解：（Ⅰ）时间分组为[0，10）的频率为1﹣10（0.06+0.02+0，003+0.002）=0.15，∴a==0.015，所以所求的频率直方图中a的值为0.015．（Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：=0.15×5+0.6×15+0.2×25+0.03×35+0.02×45=16.7，因为16.7＜20，所以该校不需要推迟5分钟上课．（Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在[30，40）中的有3人，不妨设为a，b，c，单程所需时间在[40，50）中的有2人，不妨设为A，B，从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40，50]中的有以下6种：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），故恰有一个学生的单程所需时间落在[40，50]中的概率P==．【点评】：本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．21.已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求得h（x）的解析式和导数，讨论a=0，a＞0，a＜0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）设切点（m，lnm﹣），求得切线的方程，对照已知直线y=g（x），可得a，b的式子，令﹣a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，t＞0，求得导数和单调区间，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+ax﹣b（x＞0），则h′（x）=++a=（x＞0），令y=ax2+x+1

…（2分）（1）当a=0时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）（2）当a＞0时，△=1﹣4a，若△≤0，即a≥时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．△＞0，即0＜a＜，由ax2+x+1=0，得x1，2=＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）当a＜0时，△=1﹣4a＞1，由ax2+x+1=0，得x1=＞0，x2=＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上递减

…综上，当a≥0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上递减．…（6分）（Ⅱ）设切点（m，lnm﹣），则切线方程为y﹣（lnm﹣）=（+）（x﹣m），即y=（+）x﹣（+）m+lnm﹣，亦即y=（+）x+lnm﹣﹣1，令=t＞0，由题意得﹣a=+=t+t2，b=lnm﹣﹣1=﹣lnt﹣2t﹣1，…（8分）令﹣a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则φ′（t）=﹣+2t﹣1=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）