北京垡上中学高三数学理上学期期末试卷含解析

北京垡上中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U=R，集合，，则=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.若，则方程在（0，2）上恰有（

）个实根．(A)0

(B)1

(C)2

(D)3参考答案：答案：B3.已知上的增函数，那么a的取值范围是（

）

A．（1，+）

B．（－，3）

C．

D．（1，3）参考答案：答案：C4.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是（

）

参考答案：A5.已知抛物线：，为轴负半轴上的动点，，为抛物线的切线，，分别为切点，则的最小值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A6.复数等于

（

）A．

B．0

C．2

D．－2参考答案：B7.已知集合和集合，则A∩B等于（

）A．{(0,1),(1,0)}

B．[0,+∞)

C．[－1,1]

D．[0,1]参考答案：D由已知，，则，故选D.8.若集合的值为

（

）

A．0

B．

C．1，0，

D．0，参考答案：D9.设是虚数单位，则等于（

）A、0

B、

C、

D、参考答案：D略10.的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在方向上的投影为（

）A

B

C

D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

.参考答案：-4略12.对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是

参考答案：1313.若集合，则

．参考答案：略14.已知幂函数的图象经过点(3,)，那么这个幂函数的解析式为

参考答案：15.已知函数对任意的，有.设函数，且在区间[0,+∞)上单调递增．若，则实数a的取值范围为

.参考答案：由函数，则，又因为，两式相加可得，即，所以f(x)为奇函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在R上为单调递增函数，由，即，则，解得.

16.已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为___________．参考答案：解：由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结则由三垂线定理，设，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值

17.不等式

的解集是

参考答案：原不等式等价为，解得，即原不等式的解集为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知与之间存在线性相关关系(i)求出关于的线性回归方程(系数精确到);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以(单位:万台)表示日销量,,则每位员工每日奖励元；,则每位员工每日奖励元；,则每位员工每日奖励元现已知该公司9月份日销量(万台)服从正态分布,请你计算每位员工当月(按天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:，.参考公式:对于一组数据,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，.若随机变量服从正态分布,则.参考答案：(1)(i)因为,所以，，所以关于的线性回归方程为.(ii)当时,(万台).（注:若，当时,(万台).(2)由题知月份日销量(万台)服从正态分布,则,,日销量的概率为,日销量的概率为，日销量的概率为，所以每位员工当月的奖励金额总数为元.19.已知数列满足：，.（其中为自然对数的底数，）（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设，是否存在实数，使得对任意成立？若存在，求出的一个值；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）证明：设，令，得到.当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，即（当且仅当时取等号）.故，所以.（Ⅱ）先用数学归纳法证明.①当时，.②假设当时，不等式成立，那么当时，，也成立.故对都有.所以.取，.即.所以，对任意实数，取，且，，则.故，不存在满足条件的实数.20.已知数列满足，，，记，分别是数列，的前项和，证明：当时，（1）；（2）；（3）．参考答案：（1）由及知，故，

因此.

（2）由取到数得：，平方得：，从而，累加得，即.（3）由（2）知，由累加得又因为，所以，；又由，即得当时，，累加得当时，成立.因此，21.设函数f（x）=sinωx?cosωx﹣（ω＞0）的图象上相邻最高点与最低点距离为．（1）求ω的值；（2）若函数y=f（x+φ）（0＜φ＜）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ）在区间上的单调减区间．参考答案：【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx﹣），设T为f（x）的最小值周期，由题意得，结合f（x）max=1，可求T的值，利用周期公式可求ω的值．（2）由题意可求f（x+φ）=sin（x+φ﹣）是奇函数，则sin（φ﹣）=0，结合0＜φ＜，可求φ，进而可求函数g（x）的解析式，利用余弦函数的图象和性质可求其单调递减区间，结合范围x∈，即可得解．【解答】解：（1）∵=，设T为f（x）的最小值周期，由f（x）图象上相邻最高点与最低点的距离为，得，∵f（x）max=1，∴，整理可得T=2π，又∵ω＞0，T==2π，∴ω=．（2）由（1）可得f（x）=sin（x﹣），∴f（x+φ）=sin（x+φ﹣），∵y=f（x+φ）是奇函数，则sin（φ﹣）=0，又∵0＜φ