湖南省娄底市坪溪中学高三数学文联考试题含解析

湖南省娄底市坪溪中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若为虚数单位，则A.

B.

C.

D.参考答案：A2.已知正数、满足，则的最小值为（

）（A）1

（B）

（C）

（D）参考答案：D3.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（

）表1表2表3表4A.成绩

B.视力

C.智商

D.阅读量参考答案：D，，，。分析判断最大，所以选择D。

4.函数y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：C考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：将函数y解析式第一项利用诱导公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可得出y的最大值．解答：解：y=sin（x+）+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∵﹣1≤sin（x+θ）≤1，∴函数y的最大值为．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．5.设f(x)等于展开式的中间项，若,在区间的取值范围是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A6.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A略7.已知函数与，若与的交点在直线的两侧，则实数的取值范围是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B【知识点】函数的图像B8先求与直线y=x的交点坐标为（2，2）和（-2，-2）．

当x=2时，x3=8；x=-2时，x3=-8．

将y=x3的图象向上（t＞0）或向下（t＜0）平移|t|个单位，即得函数g（x）的图象．

若f（x）与g（x）的交点在直线y=x的两侧，则|t|＜6，即-6＜t＜6．【思路点拨】结合函数图象，借助图象的平移来进行判断．8.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B．试题分析：因为点在圆上，所以，可设，代入原函数化简为：，故函数的最小正周期为，函数的最小值．故应选B．考点：二倍角公式；两角和的余弦公式；三角函数的周期与最值．9.关于函数下列说法正确的是(

)A．是周期函数,周期为

B．关于直线对称C．在上最大值为

D．在上是单调递增的参考答案：D略10.在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限参考答案：考点： 复数的代数表示法及其几何意义．专题： 计算题．分析： 将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．解答： 解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．点评： 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，若命题“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题，则实数k的取值范围是

．参考答案：（，1]【考点】特称命题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由x＜1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，把命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题转化为“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k的取值范围．【解答】解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），则由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了存在性命题与全称性命题的互相转化问题以及不等式恒成立的问题，是较难的题目．12.若多项式，则

．参考答案：51013.已知，，且不共线，则向量与的夹角的取值范围为

▲

．参考答案：略14.在△ABC中，若，，，则的大小为

.参考答案：，而，故。15.函数的定义域是

.参考答案：16.已知cos=，coscos=，coscoscos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是_________．参考答案：17.已知f（x）=2cos（ωx+φ）+b，对于任意x∈R，f（x+）=f（﹣x），且f（）=﹣1，则b=．参考答案：1或﹣3【考点】函数的零点．【专题】三角函数的求值．【分析】由知函数的对称轴为x=，由三角函数的图象和性质知，对称轴处取得函数的最大值或最小值，而函数f（x）=2cos（ωx+φ）+b的最大值和最小值分别为2+b，b﹣2，由此可求实数b的值．【解答】解：∵f（x+）=f（﹣x），∴函数f（x）关于x=对称，∵f（）=﹣1，∴2+b=﹣1或﹣2+b=﹣1，∴b=﹣3或b=1，故答案为：﹣3或1．【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，函数性质的抽象表达，运用三角函数的对称性解题是解决本题的关键三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题．(Ⅰ)求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，抽到的学生成绩在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图，则有，可得x=0.3.所以频率分布直方图如图所示：

……………4分（Ⅱ）平均分为：……6分（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，且X的可能取值是0，1，2．则，，=．所以X的分布列为：X012P

所以EX＝0×＋1×＋2×＝=．

……………12分19.如图（1）是一正方体的表面展开图，

和

是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将

和画出来，并就这个正方体解决下面问题.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：⊥平面；

（Ⅲ）求二面角

的大小．

参考答案：解：MN、PB的位置如下图示.…………………（2分）（Ⅰ）∵ND//MB且ND=MB，∴四边形NDBM为平行四边形.∴MN//DB.∵BD平面PBD，MN，∴MN//平面PBD.………………（5分）（Ⅱ）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥QC.又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面AQC.∵AQ面AQC，∴AQ⊥BD.同理可得AQ⊥PB.∵BDPD=B，∴AQ⊥面PDB.…………（8分）（Ⅲ）解法1：分别取DB、MN中点E、F，连结PE、EF、PF.∵在正方体中，PB=PD，∴PE⊥DB.∵四边形NDBM为矩形，∴EF⊥DB.∴∠PEF为二面角P—DB—M为平面角.∵EF⊥平面PMN，∴EF⊥PF.设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中，∵，∴..…………（12分）解法2：设正方体的棱长为a，以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图.则点A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）.∴.∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB.∴分别为平面PDB、平面DBM的法向量.∴.∴.…………（12分）略20.(本小题满分12分)某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115

记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω。在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元；（1）试写出是S(ω)的表达式：学优（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：

非重度污染重度污染合计供暖季

非供暖季

合计

100

参考答案：（1）（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A……1分由，得，频数为39，……3分……….4分（Ⅱ）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100……………….8分K2的观测值……….10分所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.……….12分21.已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，=(sinA，1)，=(cosA，)，且//．(I)求角A的大小；(II)若a=2，b=2，求ABC的面积．参考答案：

略22.（本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）在等差数列和等比数列中，，，是前项和．（1）若，求实数的值；（2）是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中，若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中，若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由．参考答案：（1）对等比数列，公比．因为，所以．

…………２分解方程，

…………４分得或．因为，所以．…………６分（2）当取偶数时，中所有项都是中的项．…………8分证:由题意：均在数列中，当时，说明的第n项是中的第项．…………10分当取奇数时，