湖南省长沙市湘府中学高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省长沙市湘府中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在程序框图中，当n∈N（n＞1）时，函数fn（x）表示函数fn﹣1（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinx+cosx，则输出的函数fn（x）可化为(

) A．sin（x﹣） B．﹣sin（x﹣） C．sin（x+） D．﹣sin（x+）参考答案：D考点：循环结构．专题：图表型．分析：先根据流程图弄清概括程序的功能，然后计算分别f1（x），f2（x）、f3（x）、f4（x）、f5（x），得到周期，从而求出f2015（x）的解析式．解答： 解：由框图可知n=2015时输出结果，由于f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=﹣sinx+cosx，f3（x）=﹣sinx﹣cosx，f4（x）=sinx﹣cosx，f5（x）=sinx+cosx，…所以f2015（x）=f4×503+3（x）=f3（x）=﹣sinx﹣cosx=﹣sin（x+）．故选：D．点评：本题主要考查程序框图，解题的关键是识图，特别是循环结构的使用、同时考查周期性及三角变换，属于中档题．2.已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．【分析】根据条件求出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，然后根据函数f（x+1）是偶函数，利用单调性即可判定出a、b、c的大小．【解答】解：解：∵当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，∴当1＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，∵f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）关于x=1对称，∴a=f（﹣）=f（），又函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，∴f（2）＜f（）＜f（3），即f（2）＜f（﹣）=＜f（3），∴a，b，c的大小关系为b＜a＜c．故选：A．3.已知x1，x2是函数f（x）=2sinx+cosx﹣m在[0，π]内的两个零点，则sin（x1+x2）=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意可得m=2sinx1+cosx1=2sinx2+cosx2，即2sinx1﹣2sinx2=cosx2﹣cosx1，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求．【解答】解：∵x1，x2是函数f（x）=2sinx+cosx﹣m在[0，π]内的两个零点，即x1，x2是方程2sinx+cosx=m在[0，π]内的两个解，∴m=2sinx1+cosx1=2sinx2+cosx2，∴2sinx1﹣2sinx2=cosx2﹣cosx1，∴2×2×cossin=﹣2sinsin，∴2cos=sin，∴tan=2，∴sin（x1+x2）==，故选：C．4.已知集合，，若，则实数的值是（

）A．0

B．0或2

C．2

D．0或1或2参考答案：B试题分析：由得，所以．故选B．考点：集合的包含关系，集合的定义．5.右边是一个算法的程序框图，当？处的关系是，输入的值为3时，则输出y的结果是

（

）A.-1

B.1

C.3

D.

参考答案：C6.已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：①∥⊥m；

②⊥∥m；

③∥m⊥；④⊥m∥其中正确的两个命题是（

）A.①②

B.③④

C.②④

D.①③参考答案：D7.若，则的定义域是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是()A.

B.C.

D.参考答案：C若，，所以，又，所以，即，所以选C.9.执行如图所示程序框图，如果输入的，则输出的n=（

）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：C【分析】运行程序，分别计算各次循环所得n,S，判断S与0.1的大小，确定输出值.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，，选C．【点睛】本题考查流程图循环结构，满足条件退出循环，考查运算能力及逻辑推理能力，属于基础题.10.已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如右图所示，则该函数的图像是参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，点P在曲线C上，若中，，则双曲线C的渐近线方程为______.参考答案：【分析】利用已知条件求出P的坐标（x，y）满足的条件，然后求解a，b的关系即可，【详解】如图，过B作BM⊥x轴，∵∠PBA＝∠PAB，则∠PAB＝∠PBM，∴∠PAB+∠PBx．即kPA?kPB＝1．设P（x，y），又A（﹣a，0），B（a，0）．，∴x2﹣y2＝a2，∴a＝b，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故答案为：y＝±x【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．12.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为

.参考答案：13.已知向量若则的值为

.参考答案：略14.在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点

，则点到点的距离大于1的概率为

.参考答案：15.函数的单调递减区间是________________________．参考答案：(2，＋∞)16.由曲线与直线所围成图形的面积等于________．参考答案：【分析】根据定积分的几何意义得到积S＝(ex＋x)dx，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S＝(ex＋x)dx＝故答案为：【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.17.若函数的定义域为R，则实数的取值范围

.参考答案：答案:

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝lnx＋mx2(m∈R)．(1)若在x＝2处取得极值，求实数m的值；(2)若A，B是函数f(x)图像上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于2，求实数m的取值范围．（3）求当曲线y＝p(x)（）与y＝q(x)有公共切线时，实数m的取值范围；参考答案：略19.设函数.（1）试比较与的大小；（2）若函数的图象与轴能围成一个三角形，求实数的取值范围.参考答案：（1）∵，而∴；（2）当时，，∵，∴围成三角形，∴.当时，，同理得，综上所述. 20.（本题满分12分）设数列的前项和为.??（1）证明：为等比数列；??（2）证明：求数列的通项公式；??（3）确定与的大小关系，并加以证明.参考答案：解：（1）得，相减得，

…………

2分即，故。故数列为首项是、公比为的等比数列。

…………

4分?????（2）得，，，故，所以。

…………

8分?????（3），，即比较与的大小关系，，即比较与的大小。

…………

10分当时，，当时，。

因为当时，。故当时，，当时，。

…………

12分（也可用数学归纳法：当时，，结论成立；设时结论成立，即，则当时，，即时结论也成立。根据数学归纳法，对，不等式成立。）…………

12分略21.（12分）已知O为坐标原点，圆M：（x+1）2+y2=16，定点F（1，0），点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E与y轴的交点分别为B1、B2，直线B1P和B2P分别与x轴相交于C、D两点，请问线段长之积|OC|?|OD|是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C坐标为（﹣1，0），过点C的直线l与E相交于A、B两点，求△ABD面积的最大值．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）通过连结FQ，利用中垂线的性质及椭圆的定义即得结论；（2）证明：设P（x0，y0），可得3x02=4（3﹣y02），直线B1P的方程为：y=．令y=0，得，|OC|?|OD|=|xC|?|xD|=||=4（定值）；（3）当点C的坐标为（﹣1，0）时，点D（﹣4，0），|CD|=3，设直线l的方程为：x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0解得：．|y1﹣y2|=，△ABD面积s=×|y1﹣y2|===；【解答】（1）解：连结FQ，则FQ=NQ，∵MQ+FQ=MQ+QN=MN=4＞ME，椭圆的定义即得点Q的轨迹为以点M、F为焦点，长轴为4的椭圆

∴2a=4，即a=2，又∵焦点为（1，0），即c=1，∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3，故点Q的轨迹C的方程为：（2）证明：设P（x0，y0），直线B1P的方程为：y=．令y=0，得，|OC|?|OD|=|xC|?|xD|=||∵点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，∴．即3x02=4（3﹣y02），∴=4，|OC|?|OD|是否为定值4．（3）当点C的坐标为（﹣1，0）时，点D（﹣4，0），|CD|=3，设直线l的方程为：x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0解得：．|y1﹣y2|=，△ABD面积s=×|y1﹣y2|=?==；∵，根据∵在[1，+∞）递增可得3．∴∴m=0，即直线