广东省佛山市三水第三高级中学高三数学文联考试卷含解析

广东省佛山市三水第三高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知cos（π﹣α）=﹣，则cos2α=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D2.在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：A略3.设y1=，y2=，y3=，则（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2参考答案：B【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】构造函数y=0.5x和，利用两个函数的单调性进行比较即可．【解答】解：因为y=0.5x为减函数，而，所以y2＜y3，又因为是R上的增函数，且0.4＜0.5，所以y1＜y2，所以y1＜y2＜y3故选B【点评】本题考查比较大小知识、指数函数和幂函数的单调性等知识，属基本知识的考查．4.已知，且x是第四象限角，则sinx的值等于（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式求得cosx的值，再根据x是第四象限角，利用同角三角函数的基本关系，求得sinx的值．【解答】解：∵已知=cosx，且x是第四象限角，则sinx=﹣=﹣，故选：A．5.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8?S3=20,则S11的值为A.44

B.22

C.

D.88参考答案：A略6.下列命题中正确命题的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件；③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；④命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：?x∈R，都有x2+x+1≥0．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断．②根据充分条件和必要条件的定义进行判断．③根据复合命题真假关系进行判断．④根据含有量词的命题的否定进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；故①正确，②由a2+a≠0得a≠﹣1或a≠0，“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件；故②正确，③若p∧q为假命题，则p，q质数有一个为假命题；故③错误，④命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：?x∈R，都有x2+x+1≥0．故④正确，故正确的是①②④，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系，充分条件和必要条件的判断以及复合命题，含有量词的命题的否定，综合性较强，难度不大．7.若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[1，） C．[1，2） D．[，2）参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内，建立不等关系，解之即可．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又，由f'（x）=0，得．当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0据题意，，解得．故选B．8.设全集U＝R，集合A＝｛x｜｝，B＝｛x｜1＜＜8｝，则（CUA）∩B等于A．[－1，3）

B．（0，2]

C．（1，2]

D．（2，3）参考答案：B9.点在双曲线上，、是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（

）科网]A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.向量的夹角为120°，=

．参考答案：7略12.一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为

。参考答案：4略13.如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为__________

参考答案：14.设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有__________________________．参考答案：15.实数a，b满足0＜a≤2，b≥1．若b≤a2，则的取值范围是．参考答案：

【考点】不等式的基本性质．【分析】利用换元法，结合条件，即可求出的取值范围．【解答】解：设t=，则b=at，∵b≤a2，∴at≤a2，∴t≤a，∴t≤2，∵b≥1，∴at≥1，∴t≥，∴t，∴的取值范围是．故答案为．【点评】本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，正确转化是关键．16.已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为

．参考答案：4【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.已知非空集合A，B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=?；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么A=；（ⅱ）有序集合对（A，B）的个数是

．参考答案：{6}；32【考点】排列、组合的实际应用；并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合；排列组合．【分析】（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，则1?A，6?B，即6∈A，1∈B，即可推出A；（ⅱ）分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．【解答】解：（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，若A={1}，则不满足条件．③，若A={2}，则B={1，3，4，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={3}，则B={1，2，4，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={4}，则B={1，2，3，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={5}，则B={1，2，3，4，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．若A={6}，则B={1，2，3，4，5，7}，含有6个元素，满足条件．若A={7}，则B={1，2，3，4，5，6}，含有6个元素，不满足条件④．故A={6}；（ⅱ）若集合A中只有1个元素，则集合B中只有6个元素，则1?A，6?B，即6∈A，1∈B，此时有=1，若集合A中只有2个元素，则2?A，5?B，即5∈A，2∈B，则有=5，若集合A中只有3个元素，则集合B中只有4个元素，则3?A，4?B，即4∈A，3∈B，此时有=10，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有3个元素，则4?A，3?B，即3∈A，4∈B，此时有=10，若集合A中只有5个元素，则集合B中只有2个元素，则5?A，2?B，即2∈A，5∈B，此时有=5，若集合A中只有6个元素，则集合B中只有1个元素，则6?A，1?B，即1∈A，6∈B，此时有=1，故有序集合对（A，B）的个数是1+5+10+10+1=32，故答案为：{6}；32【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知首项为1的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知为与的等差中项.数列满足.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）求数列的前n项和为Tn.参考答案：（1），；（2）【分析】（1）由为与的等差中项，所以，列出方程解出，求出、、即可；（2）因为，由错位相减法求和即可.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为为与的等差中项所以，即，解得：，.（2），，，下式减上式，即：，19.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心的极坐标为（）且经过极点的圆（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的普通方程；（2）已知射线分別与曲线C1，C2交于点A，B（点B异于坐标原点O），求线段AB的长.参考答案：(1);.(2).【分析】（1）直接利用公式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）联立极坐标方程，由极径的意义求出结果．【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数得，又代入得的极坐标方程为，由曲线是圆心的极坐标为且经过极点的圆.可得其极坐标方程为，从而得的普通方程为.（2）将代入得，又将代入得，故.【点睛】本题考查椭圆和圆的极坐标方程，考查极径的意义，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力．20.已知.（Ⅰ）当时,判断的奇偶性,并说明理由；（Ⅱ）当时,若,求的值；（Ⅲ）若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围.参考答案：解:（Ⅰ）当时,既不是奇函数也不是偶函数

∵,∴所以既不是奇函数,也不是偶函数

（Ⅱ）当时,,由得

即或

解得所以或

（Ⅲ）当时,取任意实数,不等式恒成立,故只需考虑,此时原不等式变为；即

故

又函数在上单调递增,所以;对于函数①当时,在上单调递减,,又,所以,此时的取值范围是

②当,在上,,当时,,此时要使存在,必须有

即,此时的取值范围是

综上,当时,的取值范围是;当时,的取值范围是;当时,的取值范围是

略21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=2，CD=CB=CP=1．点P在底面上的射影为线段BD的中点M．（Ⅰ）若E为棱PB的中点，求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点为F，连结EF，CF，由题意知CF∥AD，EF∥AP，从而面CEF∥面PAD，由此能证明CE∥面PAD．（Ⅱ）推导出CE⊥PB，从而AD⊥PD，进而PA⊥PB，EF⊥PB，则∠CEF是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点为F，连结EF，CF，∵E为棱PB的中点，∠ABC=∠BCD=90°，AB=2，CD=CB=CP=1，∴由题意知CF∥AD，EF∥AP，∵CF∩EF=F，AD∩AP=A，CF、EF?平面CEF，AD、AP?平面PAD，∴面CEF∥面PAD，∵CE?平面CEF，∴CE∥面PAD．解：（Ⅱ）∵点P在底面上的射影为线段BD的中点M，且MC=MB=MF=MD，故PC=PB=PF=PD=BC，∴CE⊥PB，又由CF⊥平面PBD，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥PD，∴AP=，BA=2，PB=1，∴PA⊥PB，EF⊥PB，∴∠CEF是二面角A﹣PB﹣C的平面角，在△EFC中，EF=CE=，CF=，∴cos，∴二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为﹣．22.（本题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若是上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式≤x+1对x∈R恒成立；（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x0>0，使得>x0+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由．参考答案：（I）