北京密云县水库中学高三数学理模拟试题含解析

北京密云县水库中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为（

）A．

B． C．2

D．3参考答案：A2.过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A.x+y-2=0

B.y-1=0

C.x-y=0

D.x+3y-4=0参考答案：A要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可.又已知点，则,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为，即.故选A.【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.3.若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(A).(0,1)

(B).[0,1)

(C).[0,1)∪(1,4]

(D).[0,1]参考答案：A4.如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：C【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，n的值，当s=时，不满足条件，退出循环，输出n的值即可．【解答】解：s=0，a=2，n=1；s=2，a=，n=2；s=，a=，n=3；s=＞3，a=；输出n=3；故选：C．【点评】本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查．5.已知、，如果函数的图象上存在点P，使，则称是线段AB的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段AB的“和谐函数”的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”与直线有公共点有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选．6.函数,则下列说法中正确命题的个数是（

）

①函数有3个零点；

②若时，函数恒成立，则实数k的取值范围是；

③函数的极大值中一定存在最小值；

④，对于一切恒成立．

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B7.已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则?U（A∩B）=（）A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}参考答案：D试题分析：根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴?U（A∪B）={4}．故选D8.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β且m?α B．m∥n且n⊥β C．α⊥β且m∥α D．m⊥n且n∥β参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件的定义，判断能由哪个选项中的条件推出m⊥β，从而得出结论．【解答】解：由选项A可得直线m也可能在平面β内，故不满足条件，故排除A．由选项B推出m⊥β，满足条件．由选项C可得直线m?β，故不满足条件．由选项D可得直线m可能在平面β内，不满足条件，故排除D．故选：B．9.下列函数中为偶函数且在上是增函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(

) A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1参考答案：D考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若集合，，则＝

；参考答案：12.如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是

▲

．参考答案：略13.过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且两两夹角都为60°，若球半径为3，则弦AB的长度为．参考答案：2【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】可设棱长为x、列出方程求解．关键就是确定出球心的位置．【解答】解：如图，在正四面体ABCD中、作AO1⊥底面BCD于O1，则O1为△BCD的中心．∵OA=OB=OC=OD=3，∴球心O在底面的射影也是O1，于是A、O、O1三点共线．设正四面体ABCD的棱长为x，则AB=x，BO1=，AO1=，∵OO1=又OO1=AO1﹣AO=由此解得x=，故正四面体ABCD的棱长，即弦AB的长度为2．故答案为．14.设不等式组表示的平面区域为M，则平面区域M的面积为；若点P（x，y）是平面区域内M的动点，则z=2x﹣y的最大值是． 参考答案：1,2.【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，由三角形面积公式求得平面区域M的面积；化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（1，1）， 联立，解得C（1，3）， 联立，解得B（2，2）， ∴平面区域M的面积为； 化z=2x﹣y，得y=2x﹣z，由图可知， 当直线y=2x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2﹣2=2． 故答案为：1，2． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 15.若存在实数满足，则实数a的取值范围是

。参考答案：16.已知，则=

▲

.参考答案：

14.

15.

16.17.已知；，若是的充分不必要条件，

则实数的取值范围是___________________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知是三个连续的自然数，且成等差数列，成等比数列，求的值．参考答案：解：因为是三个连续的自然数，且成等差数列，故设，--3分则，由成等比数列，可得，解得，-----9分所以------12分19.如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1=4．（1）求直线AB1与A1C1所成角；（2）求点B到平面AB1C的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【分析】（1）确定∠CAB1（或其补集）等于直线AB1与A1C1所成角，再求直线AB1与A1C1所成角；（2）利用等体积，求点B到平面AB1C的距离．【解答】解：（1）∵A1C1∥AC，∴∠CAB1（或其补集）等于直线AB1与A1C1所成角，∵，∴，∴直线AB1与A1C1所成角为．（2）设点B到平面AB1C的距离为h，由，可得h=，∴h=．∴点B到平面AB1C的距离为．20.（本小题满分12分）如图，中，两点分别是线段的中点，现将沿折成直二面角。(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正切值。参考答案：【知识点】线面垂直的判定定理；二面角的求法.【答案解析】（1）见解析（2）解析：解：(Ⅰ)由两点分别是线段的中点，得，为二面角平面角，。

又

……………7分(Ⅱ)

连结BE交CD于H，连结AH过点D作于O。，所以为与平面所成角。中，，

中，.所以直线与平面所成角的正切值为。

……………13分【思路点拨】（1）先找到二面角平面角，再结合线面垂直的判定定理即可；（2）通过已知条件确定为与平面所成角，然后在三角形中解出其正切值即可.21.已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1?k2为定值即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得，a2=b2+c2，…又因为点在椭圆C上，所以，…解得a=2，b=1，，所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r＞0）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．…由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1．…由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，…则．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，，…设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以=，…将m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符