高等数学第3版(张卓奎-王金金)第十一章习题解答

PAGEPAGE20第十一章微分方程习题11－11．说出下列各微分方程的阶数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解：（1）（2）（3）（4）解：（1）∵，代入方程得∴是方程的解．（2）∵，代入方程，得∴是方程的解．（3）∵，代入方程，得∴是方程的解．（4）∵，代入方程，得∴是方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：（1）（2）解：（1）在二元方程的两边同时对求导，得移项后即得故二元方程所确定的函数是所给微分方程的解．（2）在两边对求导，得，即，代入微分方程，得故所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件：（1）（2）（3）解：（1）∵∴即（2），由，得∴，（3），由，得∴，5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点处切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.解：（1）设曲线的方程为，则曲线上点处切线的斜率为，由条件知，此即为所求曲线的微分方程.（2）设曲线的方程为，则曲线上点处法线的斜率为，由条件知线段中点的横坐标为0，所以的坐标为，则有即所求曲线的微分方程为．习题11－21．求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）原方程可写为，分离变量，得两端积分，得即，亦即，故通解为（2）原方程可写为，两端分离变量并积分，得，故通解为.（3）原方程可写为,两端分离变量并积分，得，故通解为.（4）原方程可写为,两端分离变量并积分，得，故通解为.（5）分离变量，得，两端积分，得，，，故通解为，其中为任意常数.（6）分离变量，得，积分，得，即，故通解为．2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）分离变量并积分得，，即通解为，由条件，得，，故满足初始条件的特解．（2）分离变量并积分得，，即，亦即通解为，由条件，得，，故满足初始条件的特解．（3）分离变量并积分得，，即，亦即通解为，由条件，得，，故满足初始条件的特解．（4）分离变量并积分得，，通解为，由条件，得，故满足初始条件的特解．（5）分离变量并积分得，，通解为由条件，得，故满足初始条件的特解．（6）分离变量并积分得，，通解为由条件，得，故满足初始条件的特解．3．求下列齐次方程的通解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）原方程可写为，令，则代入原方程，得，即，积分得，即，亦即，原方程的通解．（2）原方程可写为，令，则代入原方程，得，分离变量积分得，即，亦即，原方程的通解．（3）原方程可写为，令，则代入原方程，得，分离变量积分得，即，，将代入上式得原方程的通解．（4）原方程可写为，令，则代入原方程，得，分离变量积分得，即，亦即，其中，将代入上式，得原方程的通解．（5）令，则代入原方程，得，即，将代入上式，得原方程的通解．（6）原方程可写为，令，则代入原方程，得，分离变量积分得，即，亦即，将代入上式，得原方程的通解4．求下列线性微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）原方程是，的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为．（2）原方程可化为，它是，的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为；（3）原方程是，的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为．（4）原方程是，的一阶非齐次线性方程.由通解公式得，即原方程的通解为．（5）原方程可化为，它是，的一阶非齐次线性方程.由通解公式得，即原方程的通解为．（6）原方程可化为，它是，的一阶非齐次线性方程.由通解公式得．5．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）（2）（3）（4）.解：（1）由公式可得一阶线性微分方程通解为由得，故特解为.（2）由公式可得一阶线性微分方程通解为由得，故特解为.（3）由公式可得一阶线性微分方程通解为由得，故特解为，即.（4）由公式可得一阶线性微分方程通解为由得，故特解为.6．求下列伯努利方程的通解：（1）（2）解：方程两边同除以，得令，，则原方程变为，故将代入上式，得原方程通解为.；（2）方程两边同除以，得令，，则原方程变为，故将代入上式，得原方程通解为．7．用适合的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：（1）（2）（3）（4）．解：（1）令，则，从而原方程可化为，分离变量积分得，即.将代入，得原方程的通解为，即．（2）令，则，从而原方程可化为，分离变量积分得，即.将代入，得原方程的通解为（其中）．（3）令，则，从而原方程可化为，分离变量积分得，即，亦即，将代入，得原方程的通解为．（4）令，则，从而原方程可化为，分离变量积分得，即.将代入，得原方程的通解为．8．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）这里，，所以（1）是全微分方程．取，根据公式，有于是全微分方程的通解为．.（2）这里,于是有，所以（2）是全微分方程．取，根据公式，有于是全微分方程的通解为．（3）这里，，显然，所以（3）不是全微分方程．（4）．这里，显然，所以（4）是全微分方程，取，根据公式，有于是全微分方程的通解为．9．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于.9．．解：设曲线的方程为，由题意知，，于是由，得，于是所求曲线的方程为10．质量为（克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比.在时，速度等于，外力为，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解：已知，并且时，，故，从而，因此.又由牛顿定律，即，故，积分得，即，再代入初始条件得，因此所求特解为，当时．11．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量成正比.由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量的一半.试求镭的量与时间的函数关系.解：设比例系数，则由题意可得.分离变量积分可得，即，从而，因为时，所以，即.又因为时，所以，从而，因此镭的量与时间的函数关系为，.时间以年为单位．12．设有连结点和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围图形的面积为，求曲线弧的方程.解：曲线弧的方程为，由题意得两边求导得，即，令，则上式可化为，分离变量积分得.将代入，得.由于在曲线上，因此，代入得，从而曲线弧的方程为，；当时.13．设有一质量为的质点作直线运动.从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.解由牛顿定律知，即，因此由时得，故，即质点运动的速度与时间的函数关系为．习题11－31.求下列各微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）解：（1）原方程变形，得，对所给方程接连积分两次，得，，这就是所求的通解.（2）对所给方程接连积分三次，得.这就是所求的通解.（3）令，原方程可化为，即，积分得，亦即，，所以就是原方程的通解．（4）令,则，原方程化为，即，当时，得原方程的一个解为，它不是通解；当时，约去，分离变量积分，得，即，从而，积分得，其中，因此原方程的通解为．2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）（2）（3）（4）．解：（1），由得，，即，，由得，，即，，由得，，故为原方程的所求特解．令，那末，得，即，积分得，由得，从而，又，可知，即，积分得，由，得，所以为所求特解．（3）令，那末，得，即，积分得，由得，从而，即，亦即，积分得，由，得，所以，原方程特解为．（4）令,则，原方程变为，从而，积分得，即，由得，从而，即，即，积分得，再由得，因此所求特解为，即亦即，或（舍去，因为）．3．试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线.解：由积分曲线经过点知，，又由积分曲线在点与直线相切知，.对方程积分得，，利用条件，从而，即，再积分得，，利用条件，从而，于是．4．下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）、（4）、（5）、（6）、（8）线性无关．因为：对于定义在区间上的两个函数与，如果与在区间上线性相关，则存在两个不全为0的常数，使得对于恒有成立，即或恒为常数．因而如果或均不为常数，则称与在区间上一定线性无关.（1）、（4）、（5）、（6）、（8）中的两个函数之比均不为常数，所以这五组函数均线性无关.相反地（2）（3）（7）线性相关．5．验证及都是方程的解，并写出该方程的通解.解：因为，，，，所以和都是已知方程的解.由于不为常数，因此与线性无关，所给方程的通解为.6．验证及都是方程的解，并写出该方程的通解.解：因为，，，，所以何都是已知方程的解.由于不为常数，因此与线性无关，所给方程的通解为.7．求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）．解：（1）特征方程为，解得，故方程的通解．（2）特征方程为，特征根为，故方程的通解为．（3）特征方程为，解得，故方程的通解．（4）特征方程为，特征根为，故方程的通解为．（5）特征方程为，特征根为，故方程的通解为．（6）特征方程为，特征根为，故方程的通解为．8．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）（2）（3）（4）．解：（1）特征方程为，特征根为，故方程的通解为代入初始条件，得，解之得，从而所求特解为．（2）特征方程为，特征根为，故方程的通解为代入初始条件，得，解之得，从而所求特解为．（3）特征方程为，特征根为，故方程的通解为代入初始条件，得，解之得，从而所求特解为（4）特征方程为，特征根为，故方程的通解为代入初始条件，得，解之得，从而所求特解为．9．写出下列各微分方程的待定特解的形式（不用解出）：（1）（2）（3）（4）．解（1）特征方程为，解得．又因为，是特征根，故待定特解的形式为．（2）特征方程为，特征根为．又因为，是特征根，故待定特解的形式为．（3）特征方程为，特征根为．又因为，不是特征根，故待定特解的形式为．（4）特征方程为，特征根为．又因为，是特征根，故待定特解的形式为．10．求下列二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）．解：（1）特征方程为，解得，对应齐次方程的通解为因，不是特征根，所以设原方程的特解为，，，代入原方程得，，即，．故原方程的通解为（2）特征方程为，解得，对应齐次方程的通解为因，不是特征根，所以设原方程的特解为，代入原方程，得即，．故原方程的通解为（3）特征方程为，解得，对应齐次的通解为而，是特征方程的单根，故可设原方程的特解为代入原方程整理得比较系数,得，所以．故原方程的通解为（4）特征方程为，解得，对应齐次方程的通解为因x，不是特征方程的根，所以设原方程的特解为，代入原方程，得比较两端系数得，所以．故原方程的通解为11．设函数连续，且满足求.解：方程两边同时对求导，得，，从而又该方程对应齐次方程的特征方程为，特征根为，故齐次方程的通解为通过观察易知为方程的一个特解，从而该方程的通解为将初始条件代入,得，故总习题十一1．单项选择题：（1）下列微分方程中是线性方程的是（）.（A）（B）（C）（D）（2）下列方程中是一阶微分方程的是（）.（A）（B）（C）（D）（3）微分方程的通解是（）.（A）（B）（C）（D）（4）微分方程满足初始条件的特解是（）.（A）（B）（C）（D）（5）下列函数是微分方程的解是（）.（A）（B）（C）（D）解：（1）（B）；（2）（A）；（3）（A）；（4）（C）；（5）（D）.2．填空题：（1）以（其中为任意常数）为通解的微分方程为.（2）以（其中、为任意常数）为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为.（3）微分方程的通解为.（4）方程的通解为.（5）设方程的三个特解是，则此方程的通解为.3．求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1）分离变量积分，得，即，亦即故原方程所求通解为.（2）原方程变形为，这是一阶线性方程，其通解为即原方程通解为.（3）原方程变形为，这是一阶线性方程，其通解为即原方程通解为.（4）这是的伯努利方程.方程两端同除以，得，令，便有，此方程为一阶非齐次线性方程，其通解为将代入，得原方程的通解为.（5）特征方程为，解得，故方程的通解、．（6）特征方程为，解得，对应齐次的通解为而，不是特征方程的根，故可设原方程的特解为代入原方程整理得，所以故原方程的通解为．（7）特征方程为，解得，对应齐次方程的通解为因，是特征根，所以设原方程的特解为，又，，代入原方程，得，，即，．故原方程的通解为（8