高等数学竞赛试题1答案1

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填空：1．若SKIPIF1<0是SKIPIF1〈0上的连续函数，则a=－1。2．函数SKIPIF1〈0在区间SKIPIF1〈0上的最大值为SKIPIF1〈0。3．SKIPIF1<0SKIPIF1〈0。4．由曲线SKIPIF1〈0绕y轴旋转一周得到的旋转面在点SKIPIF1〈0处的指向外侧的单位法向量为SKIPIF1<0。5．设函数SKIPIF1〈0由方程SKIPIF1<0所确定，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0。二、选择题:设函数f(x)可导，并且SKIPIF1〈0，则当SKIPIF1<0时，该函数在点SKIPIF1<0处微分dy是SKIPIF1<0的（A）（A）等价无穷小;（B）同阶但不等价的无穷小；(C)高阶无穷小;（D）低阶无穷小。设函数f(x)在点x=a处可导，则SKIPIF1<0在点x=a处不可导的充要条件是(C）（A）f(a）=0，且SKIPIF1<0；（B）f（a）≠0,但SKIPIF1〈0;（C）f（a）=0，且SKIPIF1〈0;（D）f（a）≠0，且SKIPIF1〈0。曲线SKIPIF1〈0（B）（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（D)有两条水平渐近线。4．设SKIPIF1<0均为可微函数，且SKIPIF1<0。已知SKIPIF1〈0是SKIPIF1<0在约束条件SKIPIF1〈0下的一个极值点,下列选项中的正确者为（D）（A）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（B）若SKIPIF1〈0，则SKIPIF1<0；（C）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（D）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1〈0.5．设曲面SKIPIF1<0的上侧，则下述曲面积分不为零的是（B）（A）SKIPIF1〈0;（B)SKIPIF1〈0；(C）SKIPIF1〈0;（D）SKIPIF1<0。三、设函数f(x）具有连续的二阶导数，且SKIPIF1〈0,SKIPIF1〈0，求SKIPIF1〈0.解：由题设可推知f（0)=0,SKIPIF1〈0，于是有SKIPIF1〈0。故SKIPIF1〈0。 四、设函数SKIPIF1〈0由参数方程SKIPIF1〈0所确定,求SKIPIF1〈0。解:由SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0,得到SKIPIF1〈0，所以SKIPIF1〈0。而当x=9时,由SKIPIF1〈0及t>1，得t=2,故SKIPIF1<0.五、设n为自然数，计算积分SKIPIF1〈0.解：注意到:对于每个固定的n，总有SKIPIF1〈0，所以被积函数在x=0点处有界（x=0不是被积函数的奇点）。又SKIPIF1〈0，于是有SKIPIF1<0，上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有SKIPIF1〈0。所以SKIPIF1<0。六、设f（x)是除x=0点外处处连续的奇函数,x=0为其第一类跳跃间断点，证明SKIPIF1<0是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。证明:因为x=0是f(x)的第一类跳跃间断点，所以SKIPIF1<0存在，设为A，则A≠0;又因f(x）为奇函数,所以SKIPIF1〈0.命：SKIPIF1<0则SKIPIF1〈0在x=0点处连续,从而SKIPIF1<0在SKIPIF1〈0上处处连续，且SKIPIF1〈0是奇函数：当x〉0，则－x〈0，SKIPIF1<0;当x<0，则－x〉0，SKIPIF1<0,即SKIPIF1〈0是连续的奇函数，于是SKIPIF1〈0是连续的偶函数,且在x=0点处可导。又SKIPIF1〈0，即SKIPIF1〈0,所以SKIPIF1<0是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。七、设f(u,v）有一阶连续偏导数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1〈0。解：设：SKIPIF1〈0,则SKIPIF1<0类似可得SKIPIF1<0，代入原式左边，得到SKIPIF1〈0

八、设函数f（u)连续,在点u=0处可导,且f(0)=0，SKIPIF1〈0求：SKIPIF1<0.解：记SKIPIF1<0，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有SKIPIF1〈0于是有SKIPIF1〈0。九、计算SKIPIF1<0，其中L为SKIPIF1〈0正向一周。解:因为L为SKIPIF1〈0,故SKIPIF1<0其中D为L所围区域，故SKIPIF1〈0为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积.当SKIPIF1〈0时，SKIPIF1〈0;当SKIPIF1〈0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1〈0时,SKIPIF1<0；当SKIPIF1〈0时，SKIPIF1〈0，故D的面积为2×1=2。从而SKIPIF1〈0。十、⑴证明：当SKIPIF1<0充分小时，不等式SKIPIF1〈0成立. ⑵设SKIPIF1〈0，求SKIPIF1<0.证明：⑴因为SKIPIF1<0，又注意到当SKIPIF1<0充分小时,SKIPIF1〈0，所以成立不等式SKIPIF1〈0。⑵由⑴知，当n充分大时有，SKIPIF1<0，故SKIPIF1〈0，而SKIPIF1〈0,于是SKIPIF1<0，由夹逼定理知SKIPIF1〈0。十一、设常数SKIPIF1〈0,证明：当x〉0且x≠1时,SKIPIF1〈0。证明：设函数SKIPIF1<0,故要证SKIPIF1<0，只需证：当SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0。显然：SKIPIF1<0。命：SKIPIF1〈0，则SKIPIF1〈0。当x=2时，SKIPIF1<0,x=2为唯一驻点。又SKIPIF1〈0，SKIPIF1〈0，所以x=2为SKIPIF1<0的唯一极小值点,故SKIPIF1<0为SKIPIF1〈0的最小值（x〉0），即当x>0时SKIPIF1<0,从而SKIPIF1<0严格单调递增。又因SKIPIF1〈0，所以当SKIPIF1〈0；当SKIPIF1〈0。十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ,在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ.若棒的近壳一端与球心的距离为a，a>R,求此半球壳对棒的引力。解:设球心在坐标原点上,半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上,则由于对称性，所求引力