高等数学习题及答案解析

高等数学习题及答案解析

1.设$f(x,y)=ax+by$，其中$a,b$为常数，则$f(xy,f(x,y))=axy+abx+by$。2.函数$z=x+y$在点$(1,2)$处，沿从点$(1,2)$到点$(2,2+3)$的方向的$2$方向导数是$1+2\sqrt{2}$。3.设有向量场$\vec{A}=y\vec{i}+xy\vec{j}+xz\vec{k}$，则$\operatorname{div}\vec{A}=2x$。4.二重积分$\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$交换积分次序后为$\iint\limits_{D'}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$，其中$D'$为$D$投影到$y$轴上的区间，$D=\{(x,y)|0\leqx\leq(y-3)^n,0\leqy\leq1\}$。5.幂级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}z^n$的收敛域为$[0,6)$。___\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z}{(z^2+1)^2}=\pi$。解：设曲面在点$M(x,y,z)$处的法线平行于$\vec{S}$，令$F=xyz-32$，则在点$M(x,y,z)$处曲面的法向量为$\vec{n}=\langleF_x,F_y,F_z\rangle=\langleyz,xz,xy\rangle$。由于$\vec{n}\parallel\vec{S}$，故有$\frac{x}{2}=\frac{y}{8}=\frac{z}{1}$。解得$x=4y,z=8y$，代入曲面方程$xy(8y)=32$，解得$y=1$，$x=4$，$z=8$，用点向式即得所求法线方程为$\frac{x-4}{2}=\frac{y-1}{8}=\frac{z-8}{1}$。令$y'=p$，则$y''=p'$，原方程化为$p'=1+p$。该方程是一阶线性非齐次方程，其通解为$p=-1+Ce^x$，其中$C$是常数。代入$y'=p$得$y'=-1+Ce^x$，对其积分得$y=-x+C'e^x+D$，其中$C'$和$D$是常数。因此原方程的通解为$y=-x+Ce^x+D$。1.B2.D3.A4.C5.D6.A7.B8.C9.B1.22.53.1/34.3/21.(1)1/2(2)-3/22.(1)2(2)1/41.$\frac{x}{y}=2$，所以$x=2y$，代入第二个式子得到$y=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，$x=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$，所以点$P$的坐标为$(\frac{1}{\sqrt{\pi}},\frac{1}{2\sqrt{\pi}})$。2.由于$f(x)$在$[0,1]$上单调递增，所以$f^{-1}(x)$在$[f(0),f(1)]$上单调递增，所以可以使用分块法，将$[0,1]$分成$n$个小区间，每个小区间长度为$\frac{1}{n}$，则在第$i$个小区间上，$f^{-1}(x)$的取值范围为$[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$，所以在该区间上的最大值为$f^{-1}(\frac{i-1}{n})$，代入面积公式得到该小区间上的矩形面积为$\frac{1}{n}f^{-1}(\frac{i-1}{n})$，将所有小区间上的矩形面积相加得到总面积为$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}f^{-1}(\frac{i-1