高等数学下册第八章习题答案详解

高等数学下册第八章习题答案详解1.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)开集、无界集，聚点集：R2，边界：{(x,y)|x=0}.(2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：{(x,y)|1≤x2+y2≤4}，边界：{(x,y)|x2+y2=1}∪{(x,y)|x2+y2=4}.(3)开集、区域、无界集，聚点集：{(x,y)|y≤x2}，边界：{(x,y)|y=x2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x,y)|(x-1)2+y2=1}∪{(x,y)|(x+1)2+y2=1}.2.已知，试求.解：3.已知，试求.解：f(x+y,x-y,xy)=(x+y)xy+(xy)x+y+x-y=(x+y)xy+(xy)2x.4.求下列各函数的定义域：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7).解：习题8-21.求下列各极限：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6).解：(1)原式=(2)原式=+∞.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=2.判断下列函数在原点处是否连续：(1)；(2)；(3).解：(1)由于又，且,故.故函数在O(0,0)处连续.(2)故O(0,0)是z的间断点.(3)若P(x,y)沿直线y=x趋于(0，0)点，则,若点P(x,y)沿直线y=-x趋于(0，0)点，则故不存在.故函数z在O(0，0)处不连续.3.指出下列函数在何处间断:(1)； (2)；(3).解：(1)因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线y=-x上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y2=2x时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.习题8-31.求下列函数的偏导数:(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7) (8).解：(1)(2)(3)(4)(5)两边取对数得故(6)(7)2.已知，求证:.证明：.由对称性知.于是.3.设，求证:.证明：,由z关于x,y的对称性得故4.设，求.解：则.5.求曲线在点处的切线与正向轴所成的倾角.解：设切线与正向x轴的倾角为α,则tanα=1.故α=.6.求下列函数的二阶偏导数:(1)； (2)；(3)； (4).解：(1)由x,y的对称性知(2)，(3)(4)习题8-41.求下列函数的全微分:(1)； (2)；(3)； (4).解：(1)∵∴(2)∵∴(3)(4)∵∴2.求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：(1)；(2).解：(1)(2)3.利用全微分代替全增量，近似计算：(1)； (2)；(3).解：(1)设f(x,y)=x3·y2，则故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f(1.02,0.97)≈f(1,1)+df(1,1)=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f(x,y)=,则故取,则(3)设f(x,y)=xy,则df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则4.矩形一边长cm，另一边长cm，当边增加4mm，而边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时，(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.5.当圆锥体形变时，它的底半径由30cm增到30.1cm，高由60cm减到59.5cm，试求体积变化的近似值.6.用水泥做一个长方形无盖水池，其外形长5m，宽4m，深3m，侧面和底均厚20cm，求所需水泥的精确值和近似值.习题8-51.求下列复合函数的偏导数或全导数:(1)，求；(2)，求；(3)，求；(4)，求.解：（1）(2)(3)(4).2.设具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数:(1)； (2)；(3).解：(1)(2)(3)3.设，为可导函数，证明:.证明:故4.设，其中为可导函数，验证.证明：∵,,∴5.，其中具有二阶导数，求.解：由对称性知，6.设是具有连续二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数：(1)； (2)；(3).解：(1),(2)(3)习题8-61.求下列隐函数的导数或偏导数：(1)，求；(2)，求；(3)，求；(4)，求解：(1)[解法1]用隐函数求导公式，设F(x,y)=siny+ex-xy2,则故.[解法2]方程两边对x求导，得故(2)设∵∴(3)方程两边求全微分，得则故(4)设,则2.设可以确定函数，证明：.证明：∵∴3.设确定了函数，其中可微，求.解：4.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(1)求；(2)求；(3)其中是连续偏导函数，求；(4)求.解：(1)原方程组变为方程两边对x求导，得当(2)设故(3)设则故(4)是已知函数的反函数，方程组两边对x求导，得整理得解得方程组两边对y求导得整理得解得5.设，试求.解：由方程组可确定反函数，方程组两边对x求导，得解得所以方程组两边对y求导，得解得所以.习题8-71.求函数在点处的泰勒公式.解：故2.将函数在点处展到泰勒公式的二次项.解：求函数在点处展到泰勒公式。解：，，，，，，，，令，则其中.求函数的三阶麦克劳林公式。解：因为，，，，，，，，，所以，，又，故，其中.习题八1.填空题：(1)函数在点处的二阶混合偏导数=1(2)设，则1(3)设函数具有二阶连续偏导数，，则=（）(4)设函数，则4(5)若，则的值是22.选择题（1）在下列极限结果中，正确的是（B） (2)设函数，则（C）（3）如果函数在点处连续，那么下列命题正确的是（B）A.若极限存在，则在点处可微B.若极限存在，则在点处可微C.若在点处可微,则存在D.若在点处可微,则极限存在(4)设函数由方程确定，其中F为可微函数，且,则（B）（5）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程（D）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B.可能确定两个具有连续偏导数的隐函数和C.可能确定两个具有连续偏导数的隐函数和D.可能确定两个具有连续偏导数的隐函数和3.证明：函数在点处可微。证明：由定义，4.设，为可微函数，求:解：故5.设函数，其中为可微的函数，求当时的值解：由已知可得；.故.当时，，所以.6.设