序列的傅里叶变换的定义和性质ppt课件

1、信号和系统的两种分析方法：(1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示； 系统则用微分方程描述； 信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换；(2)时域离散信号和系统 信号用序列表示； 系统用差分方程描述； 频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换； 引言时域分析方法和频率分析方法 序列的傅里叶变换的定义和性质1 序列傅里叶变换的定义 称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下式： ()( )jj nnX ex n e( )nx n 序列的傅里叶变换的定义和性质()jX e的

2、傅立叶反变换为：1( )()2jj nx nX eed()( )jj nnX ex n e序列的傅里叶变换对序列的傅里叶变换的定义和性质例:设x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT jNj1N0nnjnjnNje1e1ee )n(R)e(X2sin)2Nsin(e2)1N( jsin()2()sin()2sin()(1)2arg()arg2sin()2jjNX eNNX e序列的傅里叶变换的定义和性质例:设x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT 设N=4， 幅度与相位随变化曲线如下图所示sin()sin()(1)22()arg()arg2sin()sin()22jjNNNX eX e

3、P36 例题2.1.2序列的傅里叶变换的定义和性质2.2.2 序列傅里叶变换的性质1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立 结论： (1) 序列的傅里叶变换是频率的连续周期函数，周期是2。 (2) X(ej)可展成傅里叶级数， x(n)是其系数。 X(ej)表示了信号在频域中的分布规律。 (3) 在0,2,4表示信号的直流分量，在(2M1)时是最高的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FT(2)()( ),jjM nnX ex n eM为整数序列的傅里叶变换的定义和性质 2. 线性 3. 时移与频移 设X(e j)=FTx(n)， 那么11221212()( ),()(

4、),( )( )()()jjjjX eFT x nXeFT x nFT ax nbx naX ebXe设： 11221212()( ),()( ),( )( )()()jjjjX eFT x nXeFT x nFT ax nbx naX ebXe那么： 式中a, b为常数0000( ()()( )()j njjnjFT x nneX eFT ex nX e 0000( ()()( )()j njjnjFT x nneX eFT ex nX e )11221212()( ),()( ),( )( )()()jjjjX eFT x nXeFT x nFT ax nbx naX ebXe改变相位序列

5、的傅里叶变换的定义和性质4. FT的对称性(1) 共轭对称序列 共轭对称序列xe(n)满足： 将xe(n)用其实部与虚部表示： 上式两边n用-n代替，取共轭： 得到： xe(n)=x*e(-n)xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n) 实部是偶函数虚部是奇函数序列的傅里叶变换的定义和性质(2) 共轭反对称序列共轭反对称序列满足：将x0(n)用其实部与虚部表示： 上式两边n用-n代替，取共轭：对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xo(n)=x*o(-n)xo(n)=xor(n)+jxo

6、i(n)x*o(-n)=xor(-n)jxoi(-n)实部是奇函数虚部是偶函数xor(n)=xor(-n) xoi(n)= xoi(-n) 序列的傅里叶变换的定义和性质例1 试分析x(n)=e jn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n)= e jn 因而 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。 将序列展成实部与虚部的形式， 得到 x(n)=cosn+j sinn 上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数， 虚部是奇函数。 序列的傅里叶变换的定义和性质(3) 任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和 xe(n), xo(n)和原序列x(n)有何关系

7、？ 将上式中的n用-n代替， 取共轭： 根据上面两式， 得到 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn x*(-n)=xe(n)-xo(n) x(n)=xe(n)+xo(n) 序列的傅里叶变换的定义和性质(4) 频域函数X(ej)的对称性 任意频域函数X(ej)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和： X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) Xe(ej) = X*e(ej) Xo(ej) =X*o(ej) Xe(ej), Xo(ej)和原频域函数X(ej)的关系1() ()

8、()21() ()()2jjjejjjoX eX eX eX eX eX e1() ()()21() ()()2jjjejjjoX eX eX eX eX eX e序列的傅里叶变换的定义和性质(5) 研究FT的对称性 (a) 将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式 x(n)=xr(n)+jxi(n) 将上式进行FT， 得到: X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j) 结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭对称性， 虚部包含j一起对应的FT具有共轭反对称性。 ()( )( )()( )( )jj nrrnjj noirnX eFT x nx n eXeF

9、T jx njx n e()( )( )()( )( )jj nrrnjj noirnX eFT x nx n eXeFT jx njx n e1()()()21()()()2jjjejjjoX eX eXeX eX eXe()( )( )()( )( )jj nrrnjj noirnX eFT x nx n eXeFT jx njx n e()( )( )()( )( )jj nrrnjj noirnX eFT x nx n eXeFT jx njx n e()( )( )()( )( )jj nrrnjj noirnX eFT x nx n eXeFT jx njx n e()( )( )

10、()( )( )jj nrrnjj noirnX eFT x nx n eXeFT jx njx n exi(n)序列的傅里叶变换的定义和性质(b) 序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)之和其中：将上面两式分别进行FT， 得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej) FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部jXI(ej) 。 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx

11、nxnx nx nxn1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn x(n)=xe(n)+xo(n)序列的傅里叶变换的定义和性质总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下： x(n) = xr(n) + jxi(n) X(ejw)= Xe(ejw) + Xo(ejw) x(n) = xe(n) + xo(n) X(ejw) = XR(ejw) + jXI(ejw)FTFT序列的傅里叶变换的定义和性质(6) 研究实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。 所以其FT具有共轭对称性。 即： H(

12、ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数 即 ：HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j)序列的傅里叶变换的定义和性质 实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分ho(n)的关系 h(n) = he(n) + ho(n) he(n)=1/2h(n) + h(-n) ho(n)=1/2h(n) - h(-n)因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为： ( )eh n ( ),01( ),021(),02h onh nnhnn( ),01( ),021(),02h onh nnhn

13、n( )oh n 0， n=0序列的傅里叶变换的定义和性质实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)= he(n)u+(n) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n)说明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)时，需要补充一点h(o)(n)信息2,01,00,0nnn( )u n分段增益函数序列的傅里叶变换的定义和性质例2：若序列h(n)是实因果序列，其傅立叶变换的实部为HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw).解 (2)()( ),jjM nnX ex n e

14、HR (ejw)=FThe(n)=1+0.5 ejw + 0.5 ejw = he(n) e-jwn 0.5 n = -1 he(n)= 1 n = 0 0.5 n = 1根据实因果序列特性，h(n)=he(n)U+(n)(2)()( ),jjM nnX ex n e根据傅立叶变换定义，H(ejw)=FTh(n)= h(n) e-jwn =1+e-jw 0, n0 0 其它n 序列的傅里叶变换的定义和性质5. 时域卷积定理 设：y(n)=x(n)*h(n) 那么：Y(e j)=X(e j)H(e j) 证明：令：k=n- m,那么( )( ) ()() ( )( ) ()()( )( )( )

15、( )()()mjjnmjj kj kjkmj kj kkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nm eY eh k ex m eeh k ex m eH eX e ( )( ) ()() ( )( ) ()()( )( )( )( )()()mjjnmjj kj kjkmj kj kkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nm eY eh k ex m eeh k ex m eH eX e ( )() ()() ( )() ()()( )()( )()()()mjjnmjj kj kjkmj kj kkmjjy nx m h nmY eFT y nx

16、m h nm eY eh k ex m eeh k ex m eH eX e ( )( ) ()() ( )( ) ()()( )( )( )( )()()mjjnmjj kj kjkmj kj kkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nm eY eh k ex m eeh k ex m eH eX e ()11()()*()()()22()( ) ( )1( )()2jjjjjjj nnjj nj nnY eX eH eX eH edY ex n h n ex nH eede ( )( ) ()() ( )( ) ()()( )( )( )( )()()mjjnmjj

17、kj kjkmj kj kkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nm eY eh k ex m eeh k ex m eH eX e m( )( ) ()() ( )( ) ()()( )( )( )( )()()mjjnmjj kj kjkmj kj kkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nm eY eh k ex m eeh k ex m eH eX e m( )() ()() ( )() ()()( )()( )()()()mjjnmjjkjkjkmjkjkkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nmeY eh k ex

18、m eeh k ex m eH eX e定理说明：两序列卷积的FT服从相乘关系，对于线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT序列的傅里叶变换的定义和性质6. 频域卷积定理 设：y(n)=x(n)h(n) 那么： 证明：()11()()*()()()22()( ) ( )1( )()2jjjjjjj nnjj nj nnY eX eH eX eH edY ex n h n ex nH eede ()11()()*()()()22()( ) ( )1( )()2jjjjjjj nnjj nj nnY eX eH eX eH edY ex n h n ex nH eede ()11()()*()()()22()( ) ( )1( )()2jjjjjjj nnjj nj nnY eX eH eX eH edY ex n h n ex nH eede ()()1()()( )21()21()*()2jjjnnjjjjY eH ex n edH eXedH eH e ()()1()()( )21()21()*()2jjjnnjjjjY eH ex n e