高数第四章习题

习题4-11.利用定义计算下列定积分：解：(1)将区间[a,b]n等分，分点为记每个小区间长度为取则得和式由定积分定义得(2)将区间[0,1]n等分，分点为记每个小区间长度取则和式2.利用定积分概念求下列极限：；解：(1)原式(2)原式3.用定积分的几何意义求下列积分值:；.解：(1)由几何意义可知,该定积分的值等于由x轴、直线x=1、y=2x所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R的圆在第一象限内的面积，故原式=.4.证明下列不等式：；证明：(1)当时，即由积分的保序性知：即(2)证明：当时，由积分的保序性知：即5.证明：(1)(2)证明：(1)当时，于是而由夹逼准则知：(2)由中值定理得其中故习题4-21.计算下列定积分：；；，其中；；.解：(1)原式.(2)原式(3)原式(4)原式(5)原式2.计算下列导数：；解：(1)原式.(2)原式3.求由参数式所确定的函数y对x的导数.解：4.求由方程所确定的隐函数的导数.解：方程两边对x求导，有又故.5.求下列极限：；.解：(1)原式(2)原式6.a,b,c取何实数值才能使成立.解：因为时，而该极限又存在，故b=0.用洛必达法则，有所以或.习题4-31.利用基本积分公式及性质求下列积分：;解：原式.；解：原式=解：原式=3解：原式=;解：原式=解：原式=解：原式=.解：原式=.解：原式=.解：原式=解：原式=;解：原式=解：原式=解：原式=.；解：原式=.;解：原式=.;解：原式=.解：原式=2.一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x,y）处的切线斜率为2x－2，求该曲线方程.解：依题意知：两边积分，有又x=1时，y=0代入上式得c=1，故所求曲线方程为.3.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立.(1)； (2)；(3)； (4)；(5)；(6)；(7)； (8)；(9)；(10)；(11)； (12).4.利用换元法求下列积分：;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=；解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式又故上式;解：原式(28)解：原式,又故上式=.;解：原式,又,所以,故上式..解：原式 ① ②①+②=2\*GB3②-=1\*GB3①故5.用分部积分法求下列不定积分：;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：∴原式=;解：原式=.;解：原式=.解：原式又所以故6.求下列不定积分：;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=;解：原式=又故原式=.习题4-4利用计分表，计算下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.习题4-51.利用被积函数奇偶性，计算下列积分值（其中a为正常数）(1)解：因为[－a,a]上的奇函数，故;解：因为即被积函数为奇函数，所以原式=0.;解：因为为奇函数，故原式=.解：因为是奇函数，故原式=2.计算下列积分：(1)；；；；；；；；；；.解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)所以，原式=.(7)原式=(8)原式=(9)原式(10)原式=(11)原式=3.证明：(a为正常数)；证明：左右所以，等式成立.4.证明：,并由此计算(a为正常数)证明：又故等式成立.5.已知,求.解：原式=习题4-61.用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：;解：原式=解：原式=(n为正整数)解：原式=;解：原式=;解：原式=.解：原式=2.讨论下列广义积分的敛散性：;解：原式=故该广义积分当时收敛；时发散..解：原式=综上所述，当k<1时，该广义积分收敛，否则发散.3.已知，求：解：(1)原式=(2)4.证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.证明：如果，那么对于(使),存在x0，当时即成立，显然与同进收敛或发散.如果，则有,显然收敛,则亦收敛.如果，则有，显然发散，则亦发散.习题四1.填空题（1）设，，，则的大小关系是.（2）设是函数的一个原函数，则.（3）设表示不超过的最大整数，则定积分的值是多少1006.（4）已知函数，则的值为.（5）反常积分的值为.2.选择题（1）设函数与在内皆可导，且，则必有（A）.A.B.C.D.（2）下列定积分中，积分值不等于零的是（D）.A.B.C.D.（3）设是连续函数的一个原函数，“”表示“的充分必要条件是”，则必有（）.（05年全国考研题第（8）题）A.是偶函数是奇函数B.是奇函数是偶函数B.是周期函数是周期函数D.是单调函数是单调函数（4）设为的一个原函数，则（D）.A.B.C.D.（5）设函数，则当时，是的（C）.A.高阶无穷小量B.低阶无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量3.利用定积分概念求下列极限：（1）；（2）.解：（1）（2）有定积分的定义可得（令）4*.已知曲线在点处的斜率为，且曲线过点，求该曲线的方程.解：由已知，由于曲线过，则有，因此所求曲线方程为.5*.设函数连续，且满足.(1)求函数的表达式；(2)求函数的单调区间与极值.解：（1），方程两边对求导数，则有，再对求导数得.（2），令得.所以，函数的单调增加区间为；单调减少区间为.函数的极大值为，极小值为.6*.设函数问当取何值时，在处可导，并求出的值.（国防科大09-10年秋季第三大题第2小题）7*.设函数在上连续，且满足，求的表达式.解：设，则有，所以有，解得，因此所求函数的表达式为.8.求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：;解：原式=验证：所以，结论成立.;解：原式=验证：所以，结论成立.;解：原式=.验证：所以，结论正确.;解：原式=验证：所以，结论正确.;解：所以，原式=验证：故结论成立.;解：原式=验证：.故结论成立.;解：原式=验证：所以，结论成立.;解：原式=验证：所以，原式成立.;解：原式=验证：故结论成立.(n>1，且为正整数).解：故验证：故结论成立.9.求不定积分.解：故原式=又由函数的连续性，可知：所以