高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：6.双曲线弦中点的性质_第1页
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文档简介

今天我们研究双曲线弦的中点性质。在双曲线QUOTEx2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(a＞0，b＞0)中，表示双曲线以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的弦AB的斜率，令M(x0，y0)为弦AB的中点，M与双曲线中心O先看例题：例：已知双曲线QUOTEx2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，设直线（不平行于对称轴）与双曲线相交于A、B两点，令M(x0，y0)为弦AB的中点，表示双曲线以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的弦AB的斜率，M证明：化简即规律整理：在双曲线QUOTEx2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(a＞0，b＞0)中，表示双曲线以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的弦AB的斜率，令M(x0，y0)为弦AB的中点，M注意：结论并不重要，关键是去理解证明的思路，以及何种条件适合用这种方法。再看一个例题，加深印象例设直线与双曲线相交于A、B两点，且弦AB中点的横坐标为．求直线l的方程。解：设l与双曲线的两交点坐标为,，相减得，得,弦AB中点为,代入上式得，解得。总结：1.在双曲线QUOTEx2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(a＞0，b＞0)中，表示双曲线以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的弦AB的斜率，令M(x0，y0)为弦AB则有。2.若设直线与双曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入双曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，称这种代点作差的方法为“点差法”。练习：1.设直线与双曲线于相交于A、B两点，且弦AB中点的横坐标为．(1)求的值；(2)求双曲线离心率．2.已知倾斜角为的直线与双曲线于相交于A、B两点，且弦AB中点M（4,2），则双曲线离心率是（）．3.已知双曲线C:的离心率为,右准线方程为.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)已知直线x－y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.4.己知直线y=kx+1与双曲线x2－y2=1的左支相交于不同的两点A、B,线段AB的中点为点M,定点C(－2,0).(Ⅰ)求实数k的取值范围;(Ⅱ)求直线MC在y轴上的截距的取值范围.5.设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0且m≠1).当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.6.平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(Ⅰ)

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