二次函数知识梳理

关于二次函数知识梳理1.定义：一般地，如果（、、是常数，），那么叫做的二次函数.2.二次函数用配方法可化成：的形式.其中:第2页,共19页，2024年2月25日，星期天3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于轴（或重合）的直线记作特别地，轴记作直线.第3页,共19页，2024年2月25日，星期天4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.第4页,共19页，2024年2月25日，星期天5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：顶点是:对称轴是直线:第5页,共19页，2024年2月25日，星期天（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为，对称轴是直线（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.第6页,共19页，2024年2月25日，星期天6.抛物线中，、、的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.开口向上开口向下越大开口越小，反之越大第7页,共19页，2024年2月25日，星期天

（2）的符号：

和共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线的对称轴是直线故：①时，对称轴为轴②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（左同右异）第8页,共19页，2024年2月25日，星期天（3）的符号：由抛物线与轴的交点位置确定:当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：经过坐标原点①②与轴交于正半轴与轴交于负半轴③第9页,共19页，2024年2月25日，星期天7.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式※（3）交点式:已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：第10页,共19页，2024年2月25日，星期天8.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线的交点为（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点（3）抛物线与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点△＞0抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）△＝0抛物线与轴相切；③没有交点△＜0抛物线与轴相离.第11页,共19页，2024年2月25日，星期天（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同上面（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，纵坐标为，则横坐标是的两个实数根（5）一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.第12页,共19页，2024年2月25日，星期天（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为、由于、是方程的两个根，故，△第13页,共19页，2024年2月25日，星期天

，向上平移个单位向左（右）平移个单位抛物线与,

的形状和大小都相同，变动的只是位置。（以为基准说明）

，向下平移个单位

，向右平移个单位

，向左平移个单位向上（下）平移个单位第14页,共19页，2024年2月25日，星期天抛物线的平移、翻折与旋转的变换抛物线在变换中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变确定变换前后顶点坐标及开口方向关键关于轴对称关于轴对称第15页,共19页，2024年2月25日，星期天如图，将抛物线沿轴翻转到虚线的位置，那么所得到的抛物线的解析式为第16页,共19页，2024年2月25日，星期天在平面直角坐标系中，先将抛物线

关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．B．C．D．2009年天津中考试题第10题第17页,共19页，2024年2月25日，星期天图像二次函数性质应用＞0＜0