高中数学双曲线经典练习题训练(含答案)

高中数学双曲线经典练习题训练姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．单选题（每题3分,共60分）1．已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为）A．B．2C．3D．2．若双曲线-=1（b＞0）的一个顶点到与此顶点较远的一个焦点的距离为9，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．3．双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x-8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．4D．4、已知点P的双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S+λS成立，则λ的值为（）A．B．C．D．5．设F1、F2是离心率为的双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为（）A．2B．C．3D．6．斜率为的直线与焦点在x轴上的双曲线x2-=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为双曲线的两焦点，则该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．47．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知O为坐标原点，P1、P2是双曲线上的点．P是线段P1P2的中点，直线OP、P1P2的斜率分别为k1、k2，则k1k2=（）A．B．C．D．9．F1是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点P是双曲线右支上一点，若线段PF1与y轴的交点M恰为PF1的中点，且|OM|=a（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．B．C．2D．310．已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点分别为A（a，0）、F（c，0），若在直线x=-上存在点P使得∠APF=30°．则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞）C．（1，4]D．[4，+∞）11．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．D．12、双曲线方程为，过右焦点F向一条渐近线做垂线，垂足为M，如图所示，已知∠MFO=30°（O为坐标原点），则其离心率为（）A．B．C．D．213．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（）A．aB．bC．eaD．eb14．等轴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2，则三边长分别为|x1|，|x2|，2的三角形中，长度为2的边的对角是（）A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定15．设F是双曲线-=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．5B．5+4C．7D．916．过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．17．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2xB．C．D．18．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．19．已知双曲线C：x2-=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条20．（2016•北海一模）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（每题3分，共15分）21．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|AB|，|AF2|成等差数列，则此双曲线的离心率为______．22．若双曲线的离心率小于，则k的取值范围是______．23．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值是______．24．双曲线的焦点到其渐近线的距离为______．25．已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点F恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点（），则该双曲线的渐近线方程为______评卷人得分三．简答题（每题5分，共25分）26．已知双曲线过点P，它的渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．27．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且虚轴的长为4．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的渐近线方程．28．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），一条准线方程为x=（1）求双曲线C的标准方程和渐近线方程；（2）求与双曲线C共渐近线且过点P（，2）的双曲线方程．29．已知在双曲线=1上有一点P，F1，F2为两焦点．（1）若PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积及P的坐标；（2）若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积及P的坐标．30．已知双曲线以两坐标轴为对称轴，点（，）是其准线和渐近线的交点，求双曲线的标准方程．

参考答案评卷人得分一．单选题（共__小题）1．已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为）A．B．2C．3D．答案：B解析：解：设P点的横坐标为x，准线方程为x=，∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），根据双曲线的第二定义，可得3e（x-）=e（x+），且e=，∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2，则双曲线的离心率的最大值为2．故选B．2．若双曲线-=1（b＞0）的一个顶点到与此顶点较远的一个焦点的距离为9，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．答案：C解析：解：双曲线-=1（b＞0）的a=4，c=，双曲线的一个顶点到与此顶点较远的一个焦点的距离为9，即有c+a=9，即+4=9，解得，b=3，c=5．即有离心率为e==．故选C．3．双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x-8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．4D．答案：D解析：解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵渐近线被圆M：（x-8）2+y2=25截得的弦长为6，∴=4，∴a2=3b2，∴c2=4b2，∴e==．故选：D．4、已知点P的双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S+λS成立，则λ的值为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|=2c，S△IPF1=|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，=•2c•r=cr，由题意得，|PF1|•r=|PF2|•r+λcr，故λ===，故选：B．5．设F1、F2是离心率为的双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为（）A．2B．C．3D．答案：A解析：解：取PF2的中点A，则=2，∵，∴•=0，∴，由OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．

由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，∵|PF1|=λ|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4C2，∴=4c2，又=，∴，∴λ=2，故选A．6．斜率为的直线与焦点在x轴上的双曲线x2-=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为双曲线的两焦点，则该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．4答案：C解析：解：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，可得，（b2-）x2-tx-t2-b2=0，由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则有上式的两根分别为-c，c．则t=0，即有（b2-）c2=b2，由于b2=c2-1，则有2c4-5c2+2=0，解得c2=2（舍去），则c=．焦距为2．故选：C．7．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：不妨设A（c，y0），代入双曲线=1，可得y0=±．∵线段AB的长度恰等于焦距，∴，∴c2-a2=ac，∴e2-e-1=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．8．已知O为坐标原点，P1、P2是双曲线上的点．P是线段P1P2的中点，直线OP、P1P2的斜率分别为k1、k2，则k1k2=（）A．B．C．D．答案：B解析：解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y∵，两式相减可得：（x1-x2）×2x-（y1-y2）×2y=0∴=，∵直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP（O是原点）的斜率为k2，∴k1k2=．故选：B．9．F1是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点P是双曲线右支上一点，若线段PF1与y轴的交点M恰为PF1的中点，且|OM|=a（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．B．C．2D．3答案：B解析：解：由题意，设右焦点是F2，则|PF2|=2a，|PF1|=4a，由中位线定理可得，PF2⊥F1F2，由勾股定理可得16a2=4a2+4c2，即有3a2=c2，∴e==，故选：B．10．已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点分别为A（a，0）、F（c，0），若在直线x=-上存在点P使得∠APF=30°．则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞）C．（1，4]D．[4，+∞）答案：B解析：解：由A（a，0）、F（c，0），则|AF|=c-a，由正弦定理可得，2r==2（c-a），即有r=c-a，且圆心B在x=上，当△AFQ为直角三角形，且∠AQF=30°，∠QAF=90°时，可得B的纵坐标为（c-a）．故以为圆心、c-a为半径的圆B恰好经过A、F两点，且圆B上的点Q即为使得∠AQF=30°的所有点，所以原题等价于直线与圆B存在公共点，即≤c-a⇒e2-3e-2≥0⇒e≥，或e≤（舍去）．故选B．11．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．D．答案：C解析：解：∵点P在抛物线y2=8x上，|PF|=5，∴P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5-=5-2=3因此y02=8x0=24，得y0=±2∴点P（3，±2）在双曲线上可得9-=1，解之得m=3∴双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x故选：C12、双曲线方程为，过右焦点F向一条渐近线做垂线，垂足为M，如图所示，已知∠MFO=30°（O为坐标原点），则其离心率为（）A．B．C．D．2答案：D解析：解：依题意可知，其中一个渐近线的方程y=x，|OF|=c=，F（，0）|MF|==a∵∠MFO=30°∴|OF|=2|MF|，即c=2a∴e==2故选D13．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（）A．aB．bC．eaD．eb答案：A解析：解：由题意知：F1（-c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A，∵|PF1|-|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|-|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）-（c-x）|=2a∴x=a．在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a．故选A．14．等轴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2，则三边长分别为|x1|，|x2|，2的三角形中，长度为2的边的对角是（）A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定答案：C解析：解：∵等轴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），∴．∵方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2．∴．设长度为2的边的对角是θ，则cosθ===＜0．因此θ是钝角．故选C．15．设F是双曲线-=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．5B．5+4C．7D．9答案：D解析：解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线定义可得，|PF|-|PF′|=2a=4，而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．则|PF|+|PA|的最小值为9．故选：D．16．过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），由x=a和一条渐近线y=x，可得A（a，b），以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则|AF|=|OF|=c=2，即有=2，c2=a2+b2=4，解得a=1，b=，即有双曲线的方程为x2-=1，故选A．17．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2xB．C．D．答案：B解析：解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选B．18．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．19．已知双曲线C：x2-=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：D解析：解：根据双曲线方程可知a=1∴右顶点为（1，0），使l与C有且只有一个公共点的情况为：当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）故可推断出满足条件得l共有4种情况．故选D20．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．评卷人得分二．填空题（共__小题）21．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|AB|，|AF2|成等差数列，则此双曲线的离心率为______．答案：2解析：解：|AF1|，|AB|，|AF2|成等差数列，则|AF1|+|AF2|=2|AB|=4a，即有|F1F2|=4a，即2c=4a，e==2．故答案为：2．22．若双曲线的离心率小于，则k的取值范围是______．答案：（-1，0）解析：解：双曲线，化为标准方程为∴a2=1，b2=-k，∴c2=1-k∵双曲线的离心率小于，∴1＜1-k＜2∴-1＜k＜0故答案为：（-1，0）23．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值是______．答案：8解析：解：∵双曲线的方程为，∴a2=6，b2=10，可得c==4因此双曲线的右焦点为F（4，0）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合∴=4，解之得p=8故答案为：824．双曲线的焦点到其渐近线的距离为______．答案：1解析：解：∵双曲线的方程为，∴双曲线的焦点在x轴上，a2=4且b2=1，可得a=2、b=1、c==，因此，双曲线的焦是（，0），渐近线方程为y=x，即x±2y=0．∴双曲线的焦点到渐近线的距离d==1．故答案为：125．已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点F恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点（），则该双曲线的渐近线方程为______答案：y=解析：解：依题意可知，两式相减求得8b2=5a2，∴==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x故答案为：y=±x评卷人得分三．简答题（共__小题）26．已知双曲线过点P，它的渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．答案：解：（1）根据题意，双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为=λ，λ≠0；双曲线过点P，将P的坐标代入可得λ=1；则所求的双曲线方程为（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1•d2=32，又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6，∴d12+d22-2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=100，又|F1F2|=2c=10，∴|F1F2|2=100=d12+d22=|PF1|2+|PF2|2△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°．27．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且虚轴的长为4．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的渐近线方程．答案：解：（Ⅰ）由已知得，焦点坐标为（3，0），∴c=3，∵2b=4，∴∴双曲线的方程为：．（Ⅱ）∵焦点在x轴上，∴双曲线的渐近线方程为28．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），一条准线方程为x=（1）求双曲线C的标准方程和渐近线方程；（2）求与双曲线C共渐近线且过点P（，2）的双曲线方程．答案：解：（1）由