高中数学-第一章-导数及其应用-1.2-第3课时-导数的运算法则学案-新人教A版选修2-2-新人教A

1.2.2第三课时导数的运算法则一、课前准备1.课时目标1.能运用函数四则运算的求导法则，求常见函数四则运算的导数；2.能运用复合函数的求导法则，求简单的复合函数的导数；3.能综合利用导数的公式和运算法则解决简单的综合问题。2.基础预探1.(1)[f(x)±g(x)]′＝________.(2)[f(x)·g(x)]′＝________.(3)[eq\f(f(x),g(x))]′＝________.2.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y＝f[φ(x)]是由________和________复合而成的．3．设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数，且y′x＝________，或写作f′x[φ(x)]＝________.二、学习引领1．对导数的运算法则的理解(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．特别的，[cf(x)]′＝cf′(x)即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．(3)[eq\f(f(x),g(x))]′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)即需记忆如下几个特征：两个函数商的导数，其分母为原分母的平方；分子类似乘法公式，中间用减号链接，f′(x)g(x)减去含分母导数f(x)g′(x)的式子。特别地，当f(x)＝1时，有[eq\f(1,g(x))]′＝－eq\f(g′(x),[g(x)]2).2.复合函数求导应注意的问题(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选择中间变量．(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意中间变量的系数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的导数．设y＝sinu，u＝2x＋eq\f(π,3)，则y′x＝y′u·u′x＝cosu·2＝2cosu＝2cos(2x＋eq\f(π,3))．(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写.3.求导运算的注意点(1)理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，结合给定函数本身的特点，准确有效地进行求导运算．(2)利用基本初等函数的导数公式求导时，应根据问题特征，恰当选择求导公式，有时不能直接运用公式，还需要进行适当变形．(3)求复合函数导数问题要先分析函数是如何复合的，然后逐层求导，最后作积还原。三、典例导析题型一利用导数的四则运算求导数例1求下列函数的导数：(1)y＝tanx；(2)y＝3x2＋x·cosx；(3)y＝(eq\r(x)－2)2－sineq\f(x,2)·coseq\f(x,2).思路导析：将给出的函数转化为简单函数的四则运算，再利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导．解析：(1)y′＝(tanx)′＝(eq\f(sinx,cosx))′＝eq\f((sinx)′cosx－sinx(cosx)′,(cosx)2)＝eq\f(cos2x＋sin2x,(cosx)2)＝eq\f(1,cos2x).(2)y′＝(3x2＋x·cosx)′＝(3x2)′＋(x·cosx)′＝6x＋x′·cosx＋x·(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(3)y′＝[(eq\r(x)－2)2－sineq\f(x,2)·coseq\f(x,2)]′＝[(eq\r(x)－2)2]′－(eq\f(1,2)sinx)′＝(x－4eq\r(x)＋4)′－eq\f(1,2)cosx＝1－eq\f(2,\r(x))－eq\f(1,2)cosx.归纳总结：当函数解析式较为复杂时，应先变形，然后求导，当函数解析式不能直接用公式时，也要先变形，使其符合公式形式．不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则；求导过程中对符号判断不清，也是导致出错的原因之一．变式训练：求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝lgx－eq\f(1,x2)；(3)y＝x4－3x2－5x＋6；(4)y＝eq\f(2,x2)＋eq\f(3,x3).题型二求复杂函数的切线例2已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.求曲线C在点(1，－4)的切线方程；思路导析：利用导数的几何意义和导数的运算法则，求出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程．解析：y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12，所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12，所以所求切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.变式训练：在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程．题型三利用复合函数的求导法则求导数例3求下列函数的导数：(1)y＝(2x3－x＋eq\f(1,x))4；(2)y＝sin2(2x＋eq\f(π,3))．思路导析：正确选定中间变量是正确求导的关键，同时应注意不可机械地照搬某种固定的模式，这样容易导致复合关系不准确．解析：(1)解法一：设y＝u4，u＝2x3－x＋eq\f(1,x)，则y′x＝y′u·u′x＝4u3×(6x2－1－eq\f(1,x2))＝4(2x3－x＋eq\f(1,x))3(6x2－1－eq\f(1,x2))．解法二：y′＝[(2x3－x＋eq\f(1,x))4]′＝4(2x3－x＋eq\f(1,x))3(2x3－x＋eq\f(1,x))′＝4(2x3－x＋eq\f(1,x))3(6x2－1－eq\f(1,x2))．(2)解法一：设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋eq\f(π,3)，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sinv·cosv＝2sin2v＝2sin(4x＋eq\f(2π,3))．解法二：y′＝[sin2(2x＋eq\f(π,3))]′＝2sin(2x＋eq\f(π,3))·[sin(2x＋eq\f(π,3))]′＝2sin(2x＋eq\f(π,3))·cos(2x＋eq\f(π,3))·(2x＋eq\f(π,3))′＝2sin(4x＋eq\f(2π,3))．规律总结：复合函数求导三步曲：第一步：分层(从外向内分解成基本函数用到中间变量)．第二步：层层求导(将分解所得的基本函数进行求导)．第三步：作积还原(将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的自变量)．上述解法中，解法一为初学时必须遵循的步骤，若熟练后，可利用解法二的步骤书写即可。变式训练：求下列函数的导数：(1)y＝sin3x；(2)y＝eq\r(3－x)(3)y＝ln(2x＋3)四、随堂练习1．下列运算中正确的是()A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(cosx－2x2)′＝(cosx)′－2′(x2)′C．(sin2x)′＝eq\f(1,2)(sinx)′·cosx＋eq\f(1,2)(cosx)′·cosxD．(2x－eq\f(1,x2))′＝(2x)′＋(x－2)′2．在下列四个命题中(每个函数都是可导函数)，真命题为()①若y＝f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)，则y′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)；②若y＝f1(x)·f2(x)，则y′＝f′1(x)f2(x)＋f1(x)f′2(x)＋f′1(x)f′2(x)；③若y＝k1f1(x)±k2f2(x)(k1，k2是实常数)，则y′＝k1f′1(x)±k2f′④若y＝eq\f(f1(x),f2(x))，则f′＝eq\f(f1(x),f′2(x))＋eq\f(f′1(x),f2(x))＋eq\f(f′1(x),f′2(x)).A．①② B．②③C．①③ D．③④3．函数y＝eq\f(sinx,x)的导数为________．A．eq\f(sinx－xcosx,x) B．eq\f(sinx－xcosx,x2)C．eq\f(xcosx+sinx,x2) D．eq\f(xcosx－sinx,x2)4．函数g(x)＝2x3－2x2－7x－4在x＝2处的切线方程为________．5．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(2)＝________.6．求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(1)y＝eq\r(3x－x2)；(2)y＝ln(x-2)五、课后作业1．已知函数y＝x3＋ax2－eq\f(4,3)a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a的值为()A．0或±3 B．0C．±3 D．非以上答案2．函数y＝cos(1＋x2)的导数是()A．2xsin(1＋x2) B．－sin(1＋x2)C．－2xsin(1＋x2) D．2cos(1＋x2)3．(1)已知f(x)＝xex＋sinxcosx，则f′(0)＝________.(2)已知g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则g′(1)＝________.4．点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．5．(1)求y＝x(x2＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,x3))的导数；(2)求y＝(eq\r(x)＋1)(eq\f(1,\r(x))－1)的导数；(3)求y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)的导数；(4)求y＝eq\f(3x2－x\r(x)＋5\r(x)－9,\r(x))的导数．6．曲线y＝e2xcos3x在(0,1)处的切线与直线C的距离为eq\r(5)，求直线C的方程．参考答案1.2.2基本初等函数的导数公式与导数的运算法则第二课时导数的运算法则一、课前准备2.基础预探1.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),g2(x))2.y＝f(u)u＝φ(x)3.y′u·u′xf′(u)·φ′(x)三、典例导析题型一利用导数的四则运算求导数例1变式训练解析：(1)y′＝(3x2)′＋(xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx；(2)y′＝；(3)y′＝4x3－6x－5；(4).例2变式训练解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，切线的斜率最小，最小斜率为3，此时，y＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.例3变式训练解析：(1)设y＝sinu，u＝3x，则y′x＝y′u·u′x＝cosu·3＝3cos3x.(2)设y＝eq\r(u)，u＝3－x，则y′x＝y′u·u′x＝eq\f(1,2\r(u))·(－1)＝－eq\f(1,2\r(3－x)).（3）设y＝lnu，u＝2x＋3；y′u＝eq\f(1,u)，u′x＝2；y′x＝eq\f(1,u)×2＝eq\f(2,2x＋3)，∴y′＝eq\f(2,2x＋3).四、随堂练习1．解析：由求导四则运算易得A正确，故选A.答案：A2．解析：由求导的四则运算易得，故选C.答案：C3．解析：y′＝eq\f((sinx)′x－sinx·(x)′,x2)＝eq\f(xcosx－sinx,x2).答案：D4．解析：∵g′(x)＝6x2－4x－7，∴g′(2)＝9.又∵g(2)＝－10，∴切线方程得9x－y－28＝0.答案：9x－y－28＝05．解析：∵f′(x)＝[log3(2x－1)]′＝eq\f(1,(2x－1)ln3)(2x－1)′＝eq\f(2,(2x－1)ln3)，∴f′(2)＝eq\f(2,3ln3).答案：eq\f(2,3ln3)6．解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)∵y＝eq\f(ex－1＋2,ex－1)＝1＋eq\f(2,ex－1)，∴y′＝1′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,ex－1)))′，即.(3)设y＝eq\r(u)，u＝3x－x2，则yx′＝yu′·ux′＝eq\f(1,2\r(u))·(3－2x)＝eq\f(3－2x,2\r(3x－x2)).(4)设y＝lnu，u＝x-2，则yx′＝yu′·ux′＝eq\f(1,u)·1＝eq\f(1,x-2).五、课后作业1．解析：由y′＝3x2＋2ax＝0得x＝0或－eq\f(2a,3)，x＝0时，得a＝0；x＝－eq\f(2a,3)时，得a2＝9，a