高中数学-第1章-导数及其应用-1.2.1-常见函数的导数-1.2.2-函数的和、差、积、商的导数优

wordword/word1.2导数的运算常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.f(x)=0的导数是（）A.0B.1C.不存在D.不确定答案：A解析：f(x)=0是常数,常数的导数是0.2.函数y=sinx的导数为（）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx答案：B解析：由常用函数的导数公式可知(sinx)′=cosx.3.函数y=3x-4的导数是（）A.3B.-4C.-1D.12答案：A解析：由函数导数的运算法则知y′=3.4.函数y=x-(2x-1)2的导数是_____________.解析：y=x-4x2+4x-1=-4x2+5x-1.∴y′=-8x+5.答案：5-8x10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.y=的导数是（）A.3x2B.13x2C.D.答案：D解析：∵y==，∴y′=()′==.2.y=cosx在x=处切线的斜率为（）A.B.C.-12D.12答案：C解析：y′=-sin=.3.函数y=sinxcosx的导数是（）A.sin2xB.cos2xC.sin2xD.cos2x答案：D解析：y′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cos2x-sin2x=cos2x.4.函数y=x2·cosx的导数为___________.解析：y′=(x2·cosx)′=(x2)′·cosx+x2·（cosx）′=2x·cosx-x2·sinx.答案：2x·cosx-x2·sinx5.过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为___________.解析：将ex求导知(ex)′=ex.设切点坐标为(x0,),则过该切点的直线的斜率为.∴直线方程为y-=(x-x0).∴y-=·x-x0·.∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x0·=.∴x0=1.∴切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e)e6.求下列函数的导数.(1)y=x4-3x2-5x+6;(2)y=x·tanx;(3)y=;(4)y=(x+1)(x+2)(x+3).解：(1)y′=(x4-3x2-5x+6)′=(x4)′-3(x2)′-5x′+6′=4x3-6x-5.(2)y′=(x·tanx)′=()′=====.(3)解法一：y′=()′===.解法二：y=1,y′=(1)′=()′==.(4)解法一：y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.解法二：y=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.若y=sint,则y′|t=6π等于（）A.1B.-1C.0D.cost答案：A解析：y′|t=6π=cos6π=1.2.曲线y=2x3-6x上切线平行于x轴的点的坐标是…（）A.（-1，4）B.（1，-4）C.（-1，-4）或（1，4）D.（-1，4）或（1，-4）答案：D解析：y′=(2x3-6x)′=6x2-6,由y′=0,得x=1或x=-1.代入y=2x3-6x,得y=-4或y=4.即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).3.曲线f(x)=x3+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为()A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案：A4.设y=-2exsinx,则y′等于()A.-2excosxB.-2exsinxC.2exsinxD.-2ex(sinx+cosx)答案：D解析：y′=-2(exsinx+excosx)=-2ex(sinx+cosx).5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)等于…()A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1答案：C解析：∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),∴f′(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)+x·［(x-1)·(x-2)…(x-100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.6.曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,则a=_______________.解析：∵y=x3,∴y′=3x2.∴y=x3在(a,a3)点的切线斜率k为3a2.∴切线方程为y-a3=3a2(x-a),y=3a2x-2a3.令3a2x-2a3=0,得x=a,即y=3a2x-2a3与x轴交点横坐标为a.令x=a,得y=3a2×a-2a3=a3,即y=3a2x-2a3与x=a交点纵坐标为a3.∴S△=×(aa)×a3=.∴a=±1.答案：±17.已知直线l是曲线y=x3+x的切线中倾斜角最小的切线，则l的方程是_______________.解析：∵y′=x2+1≥1，∴过点（0，0）且斜率为1的切线倾斜角最小.∴直线l的方程是y=x.答案：y=x8.已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).解：由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.于是有由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c.③由f(5)=30,得25+5a+b=30.④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=.∴g(x)=x2+2x.故g(4)=16+8=.9.设直线l1与曲线y=相切于P,直线l2过P且垂直于l1,若l2交x轴于Q点,又作PK垂直于x轴于K,求KQ的长.解：先确定l2的斜率,再写出方程,设P(x0,y0),则=y′|x=x0=.由l2和l1垂直,故=-2,于是l2:y-y0=-2(x-x0),令y=0,则-y0=-2(xQ-x0),即-=-2(xQ-x0).解得xQ=+x0.易得xK=x0.∴|KQ|=|xQ-xK|=.10.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.答案：(1)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x12.①函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x22+a.②如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程，消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=,解得x1=,此时P与Q重合,即当a=时,C1和C2有且仅有一条公切线.由①得公切线方程为y=x-.(2)证明:由(1)可知当a<时,