高中数学-矩阵及线性方程组-试题及解析

高中数学矩阵及线性方程组试题一．选择题（共14小题）1．将直线y＝x绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为（）A．x＝0 B．y＝0 C．y＝x D．y＝﹣x2．抛物线y2＝2px，（p＞0）绕焦点依逆时针方向旋转90°所得抛物线方程为…（）A．x2＝2py B． C． D．3．变换＝的几何意义为（）A．关于y轴反射变换 B．关于x轴反射变换 C．关于原点反射变换 D．以上都不对4．若线性方程组的增广矩阵是，解为，则b2﹣b1的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知二元一次方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为（）A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±26．设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则||A*|A|＝（）A． B．|A|n C． D．7．把矩阵变为后，与对应的值是（）A． B． C． D．8．线性方程组的增广矩阵是（）A． B． C． D．9．直线y＝x+1在矩阵作用下变换得到的图形与x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判定10．有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）11．与（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）相等的行列式是（）A． B． C． D．12．由9个正数组成的三行三列数阵，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列．给出下列结论：①第二列中的a12，a22，a32必成等比数列；②第一列中的a11，a21，a31不一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和大于81，则a22＞9．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足＝0，则△ABC一定是（）A．等腰非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形14．关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为（）A． B． C． D．二．填空题（共18小题）15．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点顺时针旋转45°，则旋转后所得双曲线的标准方程是．16．矩阵的特征值为．17．已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y＝．18．矩阵N＝的特征值为．19．三阶行列式中，5的余子式的值是．20．行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝．21．三阶行列式中元素﹣5的代数余子式为f（x），则方程f（x）＝0的解为22．行列式中，6的代数余子式的值是．23．若行列式中元素4的代数余子式的值为，则实数x的取值集合为．24．把行列式按照第二列展开，则．25．若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为．26．已知三阶矩阵B≠O（三阶零矩阵），且B的每个列向量都是方程组的解，则λ＝．27．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为7，则k＝．28．已知直线ax+y+3＝0过点（﹣1，﹣1），则行列式的值为．29．若关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为．30．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则m﹣n＝31．已知，当方程有无穷多解时，a的值为．32．若x、y的方程组有无穷多组解，则的值为三．解答题（共18小题）33．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N（1）写出矩阵M，N；（2）求直线x+2y﹣1＝0先经过T1变换，再经过T2变换后的曲线方程．34．已知点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B．若点B的坐标为（﹣4，3），求点A的坐标．35．已如a，b∈R，向量＝是矩阵A＝的属于特征值﹣4的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．36．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．37．已知直线l：ax+y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x+by＝1．（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵A的特征值与特征向量．38．已知a＝为矩阵A＝属于特征值λ的一个特征向量．（Ⅰ）求实数a，λ的值；（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．39．已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．（1）求矩阵A；（2）求出直线x+y﹣1＝0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．40．已知矩阵A＝．求A的特征值和特征向量．41．设矩阵M＝的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．42．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．43．已知矩阵．（1）求M的特征值和特征向量；（2）若向量，求M3α．44．已知矩阵A＝不存在逆矩阵，求：（1）实数a的值；（2）矩阵A的特征向量．45．已知矩阵A＝[]的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为＝[]．（1）求矩阵A；（2）若A[]＝[]，求x，y的值．46．设矩阵A＝，若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵A的另一个特征值．47．已知矩阵A＝，B＝，且AB＝BA．（1）求实数a；（2）求矩阵B的特征值．48．已知二阶矩阵的特征值λ＝﹣1所对应的一个特征向量为．（1）求矩阵M；（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C'的方程为y2＝x，求曲线C的方程．49．已知矩阵，A＝，向量＝，求向量，使得A2＝．50．已知矩阵M＝[]的一个特征值是3，求直线x﹣2y﹣3＝0在M作用下的直线方程．

参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．将直线y＝x绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为（）A．x＝0 B．y＝0 C．y＝x D．y＝﹣x【分析】根据题意，旋转后的直线倾斜角为120°，且仍然经过原点．由斜率公式算出直线的斜率k＝tan120°＝﹣，即可得到该直线方程．【解答】解：∵直线y＝x经过原点，倾斜角为60°∴直线y＝x绕原点逆时针旋转60°后，倾斜角为120°且仍然经过原点因此，旋转后的直线斜率k＝tan120°＝﹣，方程为y＝﹣x故选：D．【点评】本题给出直线直线y＝x，求将直线绕原点逆时针旋转60°后所得直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式的知识，属于基础题．2．抛物线y2＝2px，（p＞0）绕焦点依逆时针方向旋转90°所得抛物线方程为…（）A．x2＝2py B． C． D．【分析】先根据题意画出旋转变换后的图形，如图，所得抛物线是虚线部分，其顶点A的坐标为（，﹣），开口向上，且与原来的抛物线全等，即可写出其方程．【解答】解：如图，抛物线y2＝2px，（p＞0）绕焦点依逆时针方向旋转90°所得抛物线是虚线部分，其顶点A的坐标为（，﹣），开口向上，且与原来的抛物线全等，故其方程为．故选：C．【点评】本题主要考查了旋转变换，考查了抛物线的方程，属于基础题．3．变换＝的几何意义为（）A．关于y轴反射变换 B．关于x轴反射变换 C．关于原点反射变换 D．以上都不对【分析】在坐标系xoy内，经过变换后变为，由此能求出结果．【解答】解：在坐标系xoy内，经过变换后变为，二者关于x轴对称，所以变换＝的几何意义为关于x轴的反射变换．故选：B．【点评】本题考查反射变换的应用，是基础题，解题时要认真审题．4．若线性方程组的增广矩阵是，解为，则b2﹣b1的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意可得5×+b1＝10，2×+b2＝8，解方程即可得到所求值．【解答】解：由题意可得5×+b1＝10，2×+b2＝8，解得b1＝2，b2＝5，则b2﹣b1＝3，故选：C．【点评】本题考查线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考查运算能力，属于基础题．5．已知二元一次方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为（）A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2【分析】由题意，，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，，∴m＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查二元一次方程组的增广矩阵，考查方程思想，比较基础．6．设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则||A*|A|＝（）A． B．|A|n C． D．【分析】本题可根据伴随矩阵对应的行列式公式|A*|＝|A|n﹣1．和公式|k•A|＝kn•|A|推导得出结果．【解答】解：由题意，可知：∵A*为n阶方阵A的伴随矩阵，∴|A*|＝|A|n﹣1．∴||A*|A|＝||A|n﹣1•A|＝（|A|n﹣1）n•|A|＝．故选：D．【点评】本题主要考查伴随矩阵对应的行列式公式和数乘矩阵的行列式公式．本题属基础题．7．把矩阵变为后，与对应的值是（）A． B． C． D．【分析】先把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行得到，再把第一列乘2加上第二列作为第二列得到，最后第二行乘以即可得出符合要求的矩阵．【解答】解：把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行→第一列乘2加上第二列作为第二列→第二行乘以→，对照得故选：C．【点评】本题主要考查了矩阵变换的性质，属于基础题．8．线性方程组的增广矩阵是（）A． B． C． D．【分析】首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得．【解答】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为．故选：A．【点评】此题主要考查方程组增广矩阵的定义及求法，是大纲新增的高等数学部分的内容，需要注意．此题属于基础题．9．直线y＝x+1在矩阵作用下变换得到的图形与x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判定【分析】设直线y＝x+1上任意一点（x0，y0），（x，y）是所得的直线上一点，得到两点的关系式，再由点在直线上上代入化简求出变换后的直线，然后利用圆心到直线的距离与半径进行比较即可判定位置关系．【解答】解：设直线y＝x+1上任意一点（x0，y0），（x，y）是所得的直线上一点，＝∴x0＝x，x0﹣2y0＝y解得x0＝x，y0＝∴点（x0，y0）在直线y＝x+1上，则y0＝x0+1从而＝x+1即直线y＝x+1在矩阵作用下变换得到直线x+y+2＝0x2+y2＝1表示圆心在坐标原点，半径为1的圆则圆心到直线的距离d＝＝＞1故直线与圆相离故选：B．【点评】本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解，同时考查了直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．10．有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【分析】根据代数余子式的意义，进行判断即可得出结论．【解答】解：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数或相等，不正确；（2）根据代数余子式的意义，可知三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和正确；（3）根据代数余子式与该行的元素值无关，可得如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，正确．故选：C．【点评】本题考查三阶矩阵，考查代数余子式的意义，正确理解代数余子式的意义是关键．11．与（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）相等的行列式是（）A． B． C． D．【分析】根据行列式的定义直接计算即可．【解答】解：（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝ab2+bc2+ca2﹣a2b﹣b2c﹣c2a，＝﹣+＝ab2﹣ac2﹣a2b+bc2+a2c﹣b2c，故A正确；＝﹣+b2c﹣bc2﹣a2c+ac2+a2b﹣ab2，故B不正确；∵将A选项中的矩阵第1、3互换就是C选项中的矩阵，∴行列式的值相反，故C不正确；∵将B选项中矩阵的行列互换就是D选项中的矩阵，∴行列式的值不变，故D不正确；故选：A．【点评】本题考查行列式的计算，注意解题方法的积累，属于基础题．12．由9个正数组成的三行三列数阵，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列．给出下列结论：①第二列中的a12，a22，a32必成等比数列；②第一列中的a11，a21，a31不一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和大于81，则a22＞9．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先由题意设列出由9个正数组成的矩阵是：，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2＝（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2得到③正确；再根据题设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②正确即可．通过举反例可得④不正确．【解答】解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2＝（a+d）（c+n），故①正确．由于（a+d）+（c+n）≥2＝2（b+m），故③正确．再题意设由9个正数组成的矩阵是：故②正确．对于④，若9个数之和大于81，即3（a+d+b+m+c+n）＞81，∴b+m+a+d+c+n＞27，但不能推出b+m＞9．如当a+d＝3，b+m＝9，c+n＝27时，a22＝b+m＝9，故④不正确．综上可得，正确的序号有①②③，故选：C．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．13．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足＝0，则△ABC一定是（）A．等腰非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【分析】方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，配方可得结论．【解答】解：方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，所以a＝b＝c，故选：B．【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．14．关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为（）A． B． C． D．【分析】根据二元一次方程方程组与增广矩阵的关系，即可求得答案．【解答】解：的增广矩阵，故选：C．【点评】本题考查二元一次方程组与系数矩阵及增广矩阵的关系，考查转化思想，属于基础题．二．填空题（共18小题）15．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点顺时针旋转45°，则旋转后所得双曲线的标准方程是．【分析】直接利用曲线的旋转问题的应用和对称性的应用求出结果．【解答】解：函数y＝的图象关于y＝x对称，且以x轴和y轴为渐近线．同时求得函数y＝与y＝x的交点坐标为（1，1）和（﹣1，﹣1）．他们与原点的距离为．同时可知直线y＝x与x轴成45°的角，反比例函数y＝的图象绕坐标原点顺时针旋转45°后，得到的双曲线的焦点在x轴上，且以y＝x和y＝﹣x为渐近线，且顶点坐标为（，0）和（﹣，0）所以a＝b＝，所以双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：圆锥曲线的求法及应用，旋转问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．16．矩阵的特征值为3或﹣1．【分析】求出矩阵的特征多项式，令其为0，即可求出矩阵的特征值．【解答】解：矩阵的特征多项式为＝（λ﹣1）2﹣4，令（λ﹣1）2﹣4＝0，可得λ＝3或﹣1．故答案为：3或﹣1．【点评】本题考查矩阵的特征值，考查学生的计算能力，比较基础．17．已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y＝6．【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得x＝4，y＝2，∴x+y＝6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．18．矩阵N＝的特征值为﹣3，8．【分析】令矩阵M的特征多项式等于0，即可求得矩阵M的特征值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ﹣24令f（λ）＝0可得λ＝﹣3或λ＝8，即矩阵M的特征值为﹣3或8．故答案为：﹣3，8．【点评】本题以矩阵为载体，考查矩阵M的特征值，关键是正确写出矩阵M的特征多项式．19．三阶行列式中，5的余子式的值是﹣12．【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：＝﹣12故答案为﹣12．【点评】本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．20．行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝﹣14．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．【解答】解：由题意得M21＝（﹣1）3＝2×2+1×k＝﹣10解得：k＝﹣14．故答案为：﹣14．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．21．三阶行列式中元素﹣5的代数余子式为f（x），则方程f（x）＝0的解为x＝log23【分析】根据行列式的展开，求得f（x），根据f（x）＝0，求得x的值．【解答】解：三阶行列式中元素﹣5的代数余子式为f（x）＝（﹣1）1+1＝2x﹣3，f（x）＝0的解x＝log23，故答案为：x＝log23．【点评】本题考查行列式的展开，考查行列式代数余子式的求法，考查转化思想，属于基础题．22．行列式中，6的代数余子式的值是6．【分析】根据代数余子式的定义6的代数余子式A23＝﹣，利用行列式的展开，即可求得答案．【解答】解：6的代数余子式A23＝﹣＝﹣（1×8﹣2×7）＝6，故答案为：6．【点评】本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．23．若行列式中元素4的代数余子式的值为，则实数x的取值集合为．【分析】求得元素4的代数余子式，展开，利用二倍角公式，及特殊角的三角函数值，即可求得实数x的取值集合．【解答】解：行列式中元素4的代数余子式A13＝＝，则cos2﹣sin2＝，则cosx＝，解得：x＝2kπ±，k∈Z，实数x的取值集合，故答案为：．【点评】本题考查行列式的代数余子式求法，行列式的展开，二倍角公式，特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题．24．把行列式按照第二列展开，则﹣3×+2×+2×．【分析】利用行列式展开的方法，即可得出结论．【解答】解：把行列式按照第二列展开得到﹣3×+2×+2×．故答案为：﹣3×+2×+2×．【点评】本题考查行列式展开的方法，考查学生的计算能力，比较基础．25．若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为0．【分析】先求x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0的交点，代入直线ax+y+3＝0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3＝0，得a＝2．行列式＝2+4﹣3﹣6+4﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．26．已知三阶矩阵B≠O（三阶零矩阵），且B的每个列向量都是方程组的解，则λ＝1．【分析】因为B不等于0所以AX＝0有非零解系数行列式为0，即可得出结论．【解答】解：由题意，＝0，∴﹣﹣﹣λ＝0∴λ＝1．故答案为：1．【点评】本题考查三阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．27．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为7，则k＝3．【分析】根据余子式的定义可知，M12＝﹣，求出其表达式列出关于x的方程解之即可．【解答】解：由题意得M12＝﹣＝﹣（﹣4﹣k）＝7，解得：k＝3．故答案为：3．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．28．已知直线ax+y+3＝0过点（﹣1，﹣1），则行列式的值为0．【分析】（﹣1，﹣1）代入直线ax+y+3＝0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：（﹣1，﹣1）代入ax+y+3＝0，得a＝2．行列式＝2+4﹣3﹣6+4﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题考查行列式的运算法则，考查计算能力，比较基础．29．若关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为2．【分析】求出D＝＝m2﹣4，Dx＝＝m2﹣2m，Dy＝＝m2﹣m﹣2，当m＝2时，D＝Dx＝Dy＝0，方程组有无穷多组解．【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组，∴D＝＝m2﹣4，Dx＝＝m2﹣2m，Dy＝＝m2﹣m﹣2，当m≠±2时，D≠0方程组有唯一解；当m＝2时，D＝Dx＝Dy＝0，方程组有无穷多组解；当m＝﹣2时，D＝0，Dx≠0，Dy≠0，此时方程组无解．∴若关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为2．故答案为：2．【点评】本题考查用行列式解二元一次方程组，考查系数矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．30．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则m﹣n＝﹣4【分析】本题可先将增广矩阵转化成对应的线性方程组，然后将该线性方程组的解代入线性方程组，即可解得参数m、n值，即可得到结果．【解答】解：由题意，可将增广矩阵转化成对应的线性方程组：，∵该线性方程组的解为，∴可将代入线性方程组，可得：，解得：．m﹣n＝﹣2﹣2＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考察增广矩阵的概念以及增广矩阵与线性方程组的转化，根据线性方程组的解求参数等问题．本题属基础题．31．已知，当方程有无穷多解时，a的值为﹣2．【分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到a的值．【解答】解：由题意，可知：∵方程有无穷多解，∴可对①×2，得：4x+4y＝﹣2．再与②式比较，可得：a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题．32．若x、y的方程组有无穷多组解，则的值为3【分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到m、n的值．然后将m、n的值代入二阶行列式可求得结果．【解答】解：由题意，可知：∵方程组有无穷多组解，∴可对①×2，得：2x+2my﹣2＝0．再与②式比较，可得：2m＝﹣4，n＝﹣2．∴m＝﹣2，n＝﹣2．∴＝＝4﹣1＝3．【点评】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值以及求二阶行列式的值．本题属基础题．三．解答题（共18小题）33．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N（1）写出矩阵M，N；（2）求直线x+2y﹣1＝0先经过T1变换，再经过T2变换后的曲线方程．【分析】（1）因为T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，所以M＝，T2：对应的矩阵为N，所以N＝，（2）先经过T1变换，再经过T2变换，由矩阵变换的计算即可算出．【解答】解：（1）：由题意知：M＝，N＝，（2）：MN＝，设直线x+2y﹣1＝0任意一点（x，y）经过变换得到（x'，y'），＝＝，可得，代入直线可得6x'﹣y'+3＝0．【点评】本题考查了矩阵变换的计算，属于基础题．34．已知点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B．若点B的坐标为（﹣4，3），求点A的坐标．【分析】设A（x，y），则A在变换T下的坐标为（x+3y，y），然后根据旋转结果可得A的坐标．【解答】解：设A（x，y），则A在变换T下的坐标为（x+3y，y），又绕原点逆时针旋转90°对应的矩阵为，∴，得，解得∴点A的坐标为（﹣9，4）．【点评】本题考查了矩阵中的坐标变换问题，属基础题．35．已如a，b∈R，向量＝是矩阵A＝的属于特征值﹣4的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【分析】本题可根据特征值与特征向量的定义写出算式Aα＝﹣4•α，然后将矩阵代入计算可得x、y的值，然后写出矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）＝0即可找到矩阵A的另一个特征值．【解答】解：由特征值与特征向量的定义，可知：Aα＝﹣4•α．即：•＝﹣4•．整理，得：＝．∴，解得：．∴A＝．∵矩阵A的特征多项式f（λ）＝＝λ（λ+3）﹣4＝λ2+3λ﹣4＝（λ+4）（λ﹣1）．令f（λ）＝0，即（λ+4）（λ﹣1）＝0．解得：λ＝﹣4，或λ＝1．∴矩阵A的另一个特征值为1．【点评】本题主要考查根据特征值与特征向量的定义式计算出矩阵中的参数，然后根据矩阵的特征多项式计算出矩阵的另一个特征值．本题属中档题．36．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．【分析】先计算出矩阵A，然后令其特征多项式f（λ）为0，即可求得特征值，再分别在f（λ）＝0代入特征值即可求得分别对应的特征向量．【解答】解：∵A＝（A﹣1）﹣1，且A﹣1＝，∴，．设矩阵A的特征值为λ，对应的特征向量为（x，y）．则矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣3λ﹣4，故特征方程为λ2﹣3λ﹣4＝0，解得λ1＝﹣1，λ2＝4．当λ1＝﹣1时，有，即x+y＝0，取x＝1，则y＝﹣1；当λ2＝4时，有，即2x﹣3y＝0，取x＝3，则y＝2．因此特征值为﹣1的一个特征向量为，特征值为4的一个特征向量为．【点评】本题考查矩阵特征值的求法及求其对应的特征向量，属于基础题．37．已知直线l：ax+y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x+by＝1．（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵A的特征值与特征向量．【分析】（1）任取直线l：ax+y＝1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；（2）先根据特征方程，求出特征值，然后把特征值代入Aα＝λα，从而求出特征向量．【解答】解：（1）设直线l：ax+y＝1上任意点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M′（x′，y′）．由＝，得又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′＝1即x+（b+2）y＝1．依题意，得解得a＝1，b＝﹣1；（2）f（λ）＝（λ﹣1）2，得矩阵A特征值为λ1＝λ2＝1，将λ1＝λ2＝1代入方程Aα＝λα可解得矩阵A属于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量为．【点评】本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，考查考查特征值与特征向量，关键是正确利用矩阵的乘法公式．38．已知a＝为矩阵A＝属于特征值λ的一个特征向量．（Ⅰ）求实数a，λ的值；（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【分析】（Ⅰ）利用特征值、特征向量的定义，即可求实数a，λ的值；（Ⅱ）求出|A|，即可求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：（Ⅰ）由＝λ得：，∴a＝λ＝2…（4分）（Ⅱ）|A|＝1×4﹣2×（﹣1）＝6∴A﹣1＝＝…（7分）【点评】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特征值与特征向量是关键，属于中档题．39．已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．（1）求矩阵A；（2）求出直线x+y﹣1＝0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．【分析】本题（1）可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论．【解答】解：（1）∵矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为，∴•＝6，•＝，∴，∴．∴．（2）设直线x+y﹣1＝0上一点P（x，y）在矩阵A的作用下得到曲线xy＝1上一点P′（x′，y′），∴，∴，即，将上式代入x+y﹣1＝0得：，∴2x﹣y﹣2＝0．∴直线x+y﹣1＝0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程为2x﹣y﹣2＝0．【点评】本题考查了矩阵的特征值和特征向量以及矩阵变换下曲线的方程，本题难度不大，属于基础题．40．已知矩阵A＝．求A的特征值和特征向量．【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）＝0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+6，令f（λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，解得α1＝，当λ2＝3时，解得α2＝．所以矩阵M属于特征值2的一个特征向量为，同理，矩阵M属于特征值3的一个特征向量为．【点评】本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．41．设矩阵M＝的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M＝的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m＝0，λ＝﹣4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．42．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．【分析】（1）利用AA﹣1＝E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）＝0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．【解答】解：（1）设A＝，则由AA﹣1＝E得＝，解得a＝，b＝﹣，c＝﹣，d＝，所以A＝；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）＝（λ﹣2）2﹣1＝0，可求得特征值为λ1＝1，λ2＝3，设λ1＝1对应的一个特征向量为α＝，则由λ1α＝Mα，得x+y＝0得x＝﹣y，可令x＝1，则y＝﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1＝1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2＝3对应的一个特征向量为．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．43．已知矩阵．（1）求M的特征值和特征向量；（2）若向量，求M3α．【分析】（1）由矩阵M的特征多项式为，能求出矩阵M的特征值和对应的特征向量．（2）由，得到M2＝＝，＝，从而能求出M3α．【解答】解：（1）∵矩阵M的特征多项式为，∴λ2﹣2λ﹣8＝0，解得矩阵M的特征值为：λ＝﹣2，或λ＝4．当λ＝﹣2时，对应的特征向量应满足，∴，解得x1＝﹣2x2，∴对应的特征向量可取为．当λ＝4时，对应的特征向量应满足，∴，解得5x1＝2x2，∴对应的特征向量可取为．（2）∵．∴M2＝＝，∴＝，∴M3α＝＝．【点评】本题考查特征向量和特征值的求法和矩阵的乘法运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．44．已知矩阵A＝不存在逆矩阵，求：（1）实数a的值；（2）矩阵A的特征向量．【分析】（1）由题意可知：|A|＝0，根据行列式的运算，即可求得a的值；（2）由f（λ）＝|λE﹣A|＝0，即可求得特征值，代入即可求得矩阵A的特征向量．【解答】解：（1）由矩阵A不存在逆矩阵，则|A|＝0，即＝0，解得：a＝2；（2）由题意可知：f（λ）＝|λE﹣A|＝＝（λ﹣4）（λ﹣1）﹣4＝λ2﹣5λ，令f（λ）＝0，则λ2﹣5λ＝0，则λ1＝0或λ2＝5，当λ1＝0时，，即y＝﹣2x，故属于λ1＝0的一个特征向量为；当λ2＝5时，，即x＝2y，故属于λ2＝5的一个特征向量为．【点评】本题考查逆矩阵存在的条件，行列式的运算，矩阵特征值及特征向量的求法，考查转化思想，属