高中三年级文科数学模拟试卷第29章

第三章导数及其应用3.1导数及其运算38导数的概念与几何意义1.(2019江西上饶重点中学一模,文13,导数的概念与几何意义,填空题)若曲线:y=ax+1(a>0且a≠1)在点(0,2)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.

解析:y=ax+1的导数为y'=axlna,即有曲线在点(0,2)处的切线斜率为k=lna,由于切线与直线x+2y+1=0垂直,则lna·-12=-1,解得a=e答案:e22.(2019山西太原一模,文14,导数的概念与几何意义,填空题)函数f(x)=xex在点(1,f(1))处的切线方程是.

解析:函数f(x)=xex的导数为f'(x)=ex+xex,在点(1,f(1))处的切线斜率为k=2e,切点为(1,e),则有在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即为y=2ex-e.答案:y=2ex-e3.(2019黑龙江大庆二模,文9,导数的概念与几何意义,选择题)已知函数f(x)=13x3-2x2+3x+13,则与f(x)图象相切的斜率最小的切线方程为(A.2x-y-3=0 B.x+y-3=0C.x-y-3=0 D.2x+y-3=0解析:∵f(x)=13x3-2x2+3x+1∴f'(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1.∵当x=2时,f'(x)取到最小值为-1,∴f(x)=13x3-2x2+3x+13的切线中,斜率最小的切线方程的斜率为-∵f(2)=1,∴切点坐标为(2,1).∴切线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.答案:B10.(2019江西上饶二模,文10,导数的概念与几何意义,选择题)已知函数f(x)=2ex,函数g(x)=k(x+1),若函数f(x)图象恒在函数g(x)图象的上方(没有交点),则实数的取值范围是()A.k>2 B.k≥2 C.0≤k≤2 D.0≤k<2解析:若函数f(x)图象恒在函数g(x)图象的上方(没有交点),即f(x)-g(x)>0恒成立,即2ex-k(x+1)>0,即2ex>k(x+1),若k=0,满足条件,若k<0,则不满足条件.则当k>0时,g(x)=k(x+1)过定点(-1,0),函数f(x)的导数为f'(x)=2ex,设切点为(a,b),则对应的切线斜率k=f'(a)=2ea,则对应的切线方程为y-2ea=2ea(x-a),又直线过点(-1,0),故-2ea=2ea(-1-a),解得a=0,此时切线斜率k=f'(0)=2,即此时k=2,则解得0<k<2.综上可得0≤k<2.答案:D11.(2019江西红色六校一模,文11,导数的概念与几何意义,填空题)曲线y=-5ex-3x在点(0,-5)处的切线方程为.

解析:∵y=-5ex-3x,∴y'=-5ex-3.∴曲线y=-5ex-3x在点P(0,-5)处的切线的斜率为k=-8.∴曲线y=-5ex-3x在点(0,-5)处的切线的方程为8x+y+5=0.答案:8x+y+5=014.(2019广西南宁一模,文14,导数的概念与几何意义,填空题)若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为.

解析:与直线x+4y-8=0垂直的直线l为:4x-y+m=0,即y=x4在某一点的导数为4,而y'=4x3,所以y=x4在(1,1)处导数为4,故方程为4x-y-3=0.答案:4x-y-3=012.(2019江西上饶三模,文12,导数的概念与几何意义,选择题)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f(b)-f(a)b-a,f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数A.13,12 B.32,3 解析:由题意可知,f'(x)=3x2-2x,在区间[0,a]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(a)-f∵f(x)=x3-x2+a,∴f'(x)=3x2-2x.∴方程3x2-2x=a2-a在区间(0,a)上有两个不相等的解.令g(x)=3x2-2x-a2+a(0<x<a),则Δ解得12<a<1∴实数a的取值范围是12答案:C14.(2019江西南昌模拟,文14,导数的概念与几何意义,填空题)函数f(x)=ax+3·ex的图象存在与直线2x-4y+1=0垂直的切线,则实数a的取值范围是.

解析:由f(x)=ax+3·ex,得f'(x)=a+3·ex,∵函数f(x)=ax+3·ex的图象存在与直线2x-4y+1=0垂直的切线,且直线2x-4y+1=0的斜率为12∴方程a+3·ex=-2有实数解,即a=3·ex-2有解.∵3·ex<0,∴a=3·ex-2<-2.答案:(-∞,-2)13.(2019江西重点中学协作体二模,文13,导数的概念与几何意义,填空题)曲线y=x(2lnx-1)在点(1,-1)处的切线方程为.

解析:对y=x(2lnx-1)求导,得y'=2lnx+1,当x=1时,y'=1,所以曲线y=x(2lnx-1)在点(1,-1)处的切线斜率为-1.又切点为(1,-1),所以切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.答案:x-y-2=04.(2019江西红色六校二模,文4,导数的概念与几何意义,选择题)若幂函数f(x)=mxα的图象经过点A14,12,则它在点A.2x-y=0 B.2x+y=0C.4x-4y+1=0 D.4x+4y+1=0解析:因为f(x)=mxα为幂函数,故m=1,又图象经过点A14,12则α=12即有f(x)=x12,则f'(x)=则f(x)在点A处的切线斜率为12·所以切线方程为y-12=x-14,即4x-4y+1=答案:C14.(2019黑龙江哈尔滨九中三模,文14,导数的概念与几何意义,填空题)已知f(x)=ex-x,过原点与f(x)相切的直线方程为.

解析:设切点坐标为(a,ea-a),又切线过(0,0),得到切线的斜率k=ea又f'(x)=ex-1,把x=a代入得:斜率k=f'(a)=ea-1,则ea-1=ea由于ea>0,则得到a=1,即切点坐标为(1,e-1),所以切线方程为y-e+1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x.答案:y=(e-1)x15.(2019山西太原外国语学校4月模拟,文15,导数的概念与几何意义,填空题)已知函数f(x)=x3对应的曲线在点(ak,f(ak))(k∈N*)处的切线与x轴的交点为(ak+1,0),若a1=1,则f(3a1解析:由f'(x)=3x2得曲线的切线的斜率k=3ak故切线方程为y-ak3=3ak2令y=0得ak+1=23ak⇒a故数列{an}是首项a1=1,公比q=23的等比数列又f(3a1)+f(3a2)+…=a1+a2+…+a10=a1(1-q所以f(3a答案:310.(2019甘肃兰州一模,文10,导数的概念与几何意义,选择题)在直角坐标系xOy中,设P是曲线C:xy=1(x>0)上任意一点,l是曲线C在点P处的切线,且l交坐标轴于A,B两点,则下列结论正确的是()A.△OAB的面积为定值2B.△OAB的面积有最小值为3C.△OAB的面积有最大值为4D.△OAB的面积的取值范围是[3,4]解析:由题意,y=1x(x>0),则y'=-1设Pa,1a,则曲线C在点P处的切线方程为y-1a=-x=0可得y=2a,y=0可得x=2a故△OAB的面积为12×2a×2a=答案:A39导数的运算1.(2019山西太原一模,文12,导数的运算,选择题)已知函数f(x)=lnx+tanα,α∈0,π2的导函数为f'(x),若使得f'(x0)=f(x0)成立的x0<1,则实数αA.π4,π2 B.0,π3 解析:∵f'(x)=1x,f'(x0)=1x0,f'(x0)=f(x∴1x0=lnx0+tanα.∴tanα=1x0-ln又0<x0<1,可得1x0-lnx0>1,即tanα>∴α∈π4答案:A3.2导数与函数的单调性、极值、最值40导数与函数的单调性1.(2019吉林省实验中学二模,文9,导数与函数的单调性,选择题)已知函数f(x)的导函数图象如图所示,若△ABC为锐角三角形,则一定成立的是()A.f(cosA)<f(cosB)B.f(sinA)<f(cosB)C.f(sinA)>f(sinB)D.f(sinA)>f(cosB)解析:根据导数函数图象可判断:f(x)在(0,1)单调递增,(1,+∞)单调递减,∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>π2,0<π2-B<A<∴0<sinπ2-B<sinA<1,0<cosB<sinA<1,f(sinA)即f(sinA)>f(cosB).答案:D2.(2019江西上饶重点中学一模,文10,导数与函数的单调性,选择题)定义在R上的函数y=f(x),满足f(2-x)=f(x),(x-1)f'(x)<0,若f(3a+1)<f(3),则实数a的取值范围是()A.-∞B.2C.-2D.-解析:当x>1时,f'(x)<0,此时函数单调递减,当x<1时,f'(x)>0,此时函数单调递增,∵f(2-x)=f(x),∴函数关于x=1对称.若f(3a+1)<f(3),则满足①3a+1≥1,3②3a+1≤1,3综上,实数a的取值范围为-∞答案:D3.(2019广西玉林、贵港4月模拟,文11,导数与函数的单调性,选择题)若函数f(x)=ex+4x-kx在区间12,+∞上是增函数,则实数A.2+e B.2+e C.4+e D.4ln2+e解析:函数f(x)=ex+4x-kx的导数为f'(x)=ex+4xln4-k,由题意可得f'(x)≥0在区间12,即有k≤ex+4xln4在区间12,令g(x)=ex+4xln4,则g(x)为12,即有g(x)>e+2ln4=4ln2+e.则k≤4ln2+e.故k的最大值为4ln2+e.答案:D4.(2019广西桂林、防城港联合调研,文21,导数与函数的单调性,解答题)设函数f(x)=ex-3e-x-ax.(1)当a=4时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在[-2,2]上为单调函数,求实数a的取值范围.解:∵f(x)=ex-3e-x-ax,∴f'(x)=ex+3e-x-a.(1)当a=4时,f'(x)=e2由f'(x)≥0,解得x≥ln3或x≤0,由f'(x)≤0,解得0≤x≤ln3,∴函数f(x)在(-∞,0]和[ln3,+∞)上递增,在[0,ln3]上递减.(2)∵函数f(x)在[-2,2]上是单调函数,∴f'(x)在[-2,2]上不变号,即a≤ex+3exmin,x∈[-2,2],求得a≤23,或a≥ex+3exmax=∴实数a的取值范围是a≤23或a≥e-2+3e2.5.(2019广西柳州一模,文20,导数与函数的单调性,解答题)已知函数f(x)=ax2-blnx在点(1,f(1))处的切线为y=2.(1)求实数a,b的值;(2)是否存在实数m,当x∈(0,1]时,函数g(x)=f(x)-2x2+m(x-1)的最小值为0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)f'(x)=2ax-bx(x>依题意可得f(1)=2ax=2(2)∵g(x)=f(x)-2x2+m(x-1)=m(x-1)-4lnx,x∈(0,1],∴g'(x)=m-4x①当m≤0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,1]上单调递减.∴g(x)min=g(1)=0.②当0<m≤4时,g'(x)=mx-∴g(x)在(0,1]上单调递减.∴g(x)min=g(1)=0.③当m>4时,g'(x)<0在0,4m上恒成立,g'(x)>0在∴g(x)在0,4m上单调递减,在∴g4m<g(1)=0.∴g(x)min≠0综上所述,存在m满足题意,其范围为(-∞,4].9.(2019山西太原二模,文9,导数与函数的单调性,选择题)已知函数f(x)的导函数在(a,b)上的图象关于直线x=a+b2对称,则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是(解析:∵函数y=f(x)的导函数在区间(a,b)上的图象关于直线x=a+b∴导函数的图象无增减性,或在直线x=a+b对于A,由图知,在a处切线斜率最小,在b处切线斜率最大,∴导函数图象不关于直线x=a+b2对称对于B,由图知,在a处切线斜率最大,在b处切线斜率最小,∴导函数图象不关于直线x=a+b2对称对于C,由图知,在a处切线的斜率最小,在b处切线的斜率最大,其导函数图象不关于直线x=a+b2对称对于D,由图知,原函数是中心对称函数,对称中心在直线x=a+b2与原函数图象的交点处,∴导函数图象关于直线x=a+答案:D11.(2019山西太原二模,文11,导数与函数的单调性,选择题)下列不等式正确的是()A.sin1<2sin12<3sinB.3sin13<2sin12C.sin1<3sin13<2sinD.2sin12<sin1<3sin解析:设y=xsinx,x∈0,π2,则y'=sinx+xcos∵x∈0,π2,y'>∴函数y=xsinx,x∈0,π∴sin1<2sin12<3sin1答案:A21.(2019山西太原二模,文21,导数与函数的单调性,解答题)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)有两个不相等的零点x1,x2(x1<x2).(1)求a的取值范围;(2)判断2x1+x解:(1)由题意得x1,x2