几何学与力学

关于几何学与力学提要§1.名人谈几何学与力学

§2.从历史发展看几何与力学

§3.从变换的角度看不变量理论与几何学

§4.从计算的角度看几何学与力学§5.结语第2页,共41页，2024年2月25日，星期天§1.名人谈几何学与力学在中国明末，由西方传教士邓玉函（瑞士人）口授、王徵笔录、并于1627年出版的《远西奇器图说》。这本书谈到力学与数学的关系时说：“造物主之生物，有数、有度、有重，物物皆然。数即算学，度乃测量学，重则此力艺之重学也。重有重之性。以此重较彼重之多寡，则资算学；以此重之形体较彼重之形体之大小，则资测量学。故数学、度学、重学之必须，盖三学皆从性理而生，为兄弟内亲，不可相离者也。”这里数学是计算的意思，和现今数学的含义不同。度学是指测量学，更宽一点，指的是几何学。第3页,共41页，2024年2月25日，星期天《远西奇器图说》第4页,共41页，2024年2月25日，星期天哥白尼1653年出版的《天体运行论》的扉页上，由出版商约翰尼斯彼得奥斯（JohannesPetreius）写上的一句话：“没有学过几何学的人，不准入内。”第5页,共41页，2024年2月25日，星期天牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书第一版的序言中是这样说的：“由于古人（如帕普斯（Papus,公元前3世纪）所告诉我们的）在研究自然事物方面，把力学看得最为重要，而今人则舍弃其实体形状和隐蔽性质而力图以数学定律说明自然现象，因此我在本书中也致力于用数学来探讨有关的哲学问题。古人从两方面来研究力学，一方面是理性的，用论证来精确地进行，另一方面是实用的。一切手艺都属于实用力学，力学之得名就是为这个缘故。”“几何学是建立在力学的实践之上的，它无非是普通力学的一部分，能精确地提出并论证测量的方法。但因手艺主要应用于物体的运动方面，所以通常认为几何学涉及物体的大小，而力学则涉及它们的运动。在这个意义上，推理力学是一门能准确提出并论证不论何种力所引起的运动，以及产生任何运动所需要的力的科学。”第6页,共41页，2024年2月25日，星期天牛顿（１６４２－１７２７）第7页,共41页，2024年2月25日，星期天“在力学中，平衡的叠加就像在几何中图形的叠加一样丰富多彩。”（拉格朗日，1788）拉格朗日，１７３６－１８１３第8页,共41页，2024年2月25日，星期天“他（Riemann）用纯粹数学推理的方法，得出了关于几何学同物理学不可分割的思想；七十年后，这个思想实际上体现在那个把几何学同引力论融合成为一个整体的广义相对论中。”（爱因斯坦，1925）爱因斯坦，１８７９－１９５５第9页,共41页，2024年2月25日，星期天总结以上一些名人的说法，力学与几何学有不可分离的密切关系。没有几何学，就不能准确描述天体的运动、没有几何学就不能精确描述物体的运动、几何学是和力学有着相同的内容、没有几何学，就不可能有相对论，等等。第10页,共41页，2024年2月25日，星期天§2.从历史发展看几何与力学古希腊哲学家赫拉克利特（Heraclites,约公元前540年~前480年）说:“人不能两次踏入同一条河”。极言万物无时无刻不在变化。研究事物的变化乃是科学的真谛。不过，为了区分事物、为了识别变化的事物，我们必须抓住变化事物的不变性质。所以认识在变化过程中，事物的不变性质，乃是研究这种事物的关键。第11页,共41页，2024年2月25日，星期天在力学中，最早朴素地认识不变性质的，大约是物体处于平衡时，进行微扰平衡不改变。13世纪约旦努在他的《重物的科学》中，就以这种观点来处理杠杆平衡问题。实际上，这就是后来发展的虚功原理的萌芽。第12页,共41页，2024年2月25日，星期天力学是研究物质在空间中位置变化的科学，而几何学是专门研究空间结构的学科。所以力学和几何学有着天生不可分的联系。所以在1627年出版的我国最早的力学文献《远西奇器图说》中说“数学、度学，重学之必须，为兄弟内亲，不可相离者也。”这里重学就是力学，度学就是指几何学。第13页,共41页，2024年2月25日，星期天所以力学同数学的发展是同步的，或者说，有什么样的数学就有什么样的力学，反过来在一定的程度上也可以说有什么样的力学就有什么样的数学。力学的研究经常是要了解客观事物的质和量两个侧面，而质和量是不可分的，所以力学同数学自古便有紧密联系的传统。力学的任务是研究物质在空间中的运动，而几何是研究空间的，所以力学与几何有着最为密切的联系。力学与物理学的革命性的发展常常是和几何联系在一起的从阿基米德到斯梯芬时代，力学的研究内容是静力学。在几何方面的主要工具是欧氏几何。相应的计算工具是常量的代数运算。第14页,共41页，2024年2月25日，星期天从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时代，力学研究的主要内容是自由质点的运动，特别是解决在引力作用下的自由质点的运动。在几何方面的主要工具是解析几何，特别是有关圆锥曲线的解析几何。在计算方面的主要工具则是引进了变量，发明了微积分，而且微积分的发明人牛顿与莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个时期的力学学科的开拓者。从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力学主要的研究内容是约束运动。在几何方面的主要工具是引进了n维空间的概念，后来经过黎曼的严格化，就是流形或黎曼几何。而在分析方面的主要工具则是引进了泛函的概念，并且发展了求泛函极值的方法，也就是变分法，拉格朗日自己就是早期开拓变分法的主将。第15页,共41页，2024年2月25日，星期天在20世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以庞卡莱与李亚普诺夫为代表的发展动力系统的定性理论时代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提出来的一个理论课题，之后发现在一切力学系统中，甚至在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与应用意义。简单说，定性理论是研究系统解的性质随参数而变化的方向，例如有没有周期解的变化、有没有极限环的变化、解稳定与不稳定的变化等等。相应的几何方面的主要工具就是拓扑学，而相应的计算工具是同伦与外微分等。至今经过了100多年的发展，它仍然是世界上都很关心的研究领域。第16页,共41页，2024年2月25日，星期天§3.从变换的角度看不变量理论

与几何学在所有的变化中，最为基本的变化就是位置的变化。为了描述位置的变化，从历史上说，首先就要把位置用数量来表述。这就是坐标的引进。1637年笛卡尔（ReneDescartes，1596-1650)发表《LaGéométrie》奠定了解析几何的基础。从而产生了坐标变换的概念。第17页,共41页，2024年2月25日，星期天一些重要变换的历史1893年李（MariusSophusLie

，1842-1899）出版了他积九年研究的成果于三卷书《TheoriederTransformationsgruppen》中。奠定了李群也就是变换群的基础。第18页,共41页，2024年2月25日，星期天一些重要变换的历史1872年，德国数学家克莱因（FelixChristianKlein，1849-1925）在论文《VergleichendeBetrachtungenüberneueregeometrischeForschungen》中提出以变换来区分非欧几何的理论。后来被称为Erlangenprogram爱尔朗根纲领。

第19页,共41页，2024年2月25日，星期天一些重要变换的历史在引进了坐标和时间的变换后，人们自然要讨论在这些变换下，哪些力学量保持不变。于是人们定义了以下三个力学量即：动量＝、角动量＝和能量＝。人们立即发现，这三个力学量分别在坐标的平移、旋转和时间的平移之下保持不变。这就是著名的力学中的三大守恒定律。第20页,共41页，2024年2月25日，星期天一些重要变换的历史1904年罗伦茨（H.Lorentz，1853-1928）引进了时间和空间变量的罗伦茨变换，在罗伦茨变换下，时空距离是不变量。其中c是光速。罗伦茨变换在后来相对论的发展中起了非常重要的作用。第21页,共41页，2024年2月25日，星期天一些重要变换的历史在研究了许多个别的不变量之后，人们需要从一般的观点来讨论变换和不变量。在力学问题被牛顿和拉普拉斯等人提为微分方程组之后，一个力学系统的变化可以用动力系统，，设给定初值为，它的解是（1）这个解实际上给出了从到的一个带参数t的变换。李是系统研究这种变换的第一人。这个变换构成了一个单参数变换群，也称为单参数李群。第22页,共41页，2024年2月25日，星期天一些重要变换的历史设为的任一函数，一般来说如果

（2）则就是在变换（1）之下的一个不变量。显然这个条件是充分必要的，这是因为进一步讲，力学中的各种定律和各种方程，都是讲在一定条件或过程中的不变量。都可以统一纳入不变量的理论中去讨论。第23页,共41页，2024年2月25日，星期天勒让德A.M.Legendre1752－1833

第24页,共41页，2024年2月25日，星期天勒让德变换是从以下偏微分方程出发的（3）其中令，再令R、S、T仅是p、q函数。

一些重要变换的历史第25页,共41页，2024年2月25日，星期天令曲面的切平面为

（4）则应当有

（5）（4）式就在函数变量x,y与p,q之给出了一个变换。即第26页,共41页，2024年2月25日，星期天由(4)微分得

第27页,共41页，2024年2月25日，星期天把以上结果代入（3）就得到（5），这一变换可以把一个拟线性方程化归为一个线性方程求解。

第28页,共41页，2024年2月25日，星期天勒让德变换的一般提法把以上思想推广。设有n个自变量的函数它具有直到二阶的连续微商，取新的一组变量

(6)

第29页,共41页，2024年2月25日，星期天它们组成对的一组变量替换，设其Jacobi行列式从（6）就可以把原变量反解出来。得（7）

（8）

考虑新函数

第30页,共41页，2024年2月25日，星期天可以证明（9）

在勒让德变数替换下，两个函数U，和

的关系由（8）给出，对应的变量与函数的关系由（6）和（9）给出。它概括了力学与物理上各种作用量之间的关系。

第31页,共41页，2024年2月25日，星期天在力学中常见的内能与自由能之间有关系。变形能密度与余变形能密度之间有关系。它们都是勒让德变换的实例第32页,共41页，2024年2月25日，星期天在分析力学中，拉格朗日方程是其中拉格朗日函数是T为动能，U为势能。哈米尔顿函数与拉格朗日函数之间的关系是这实际上也是一个勒让德变换。在这个变换下，拉格朗日方程就变换为哈米尔顿方程。第33页,共41页，2024年2月25日，星期天从应变能到胡—鹫原理也可以归结为勒让德变换令分别为弹性体的位移场、应力张量场和应变张量场。是应变能密度函数。D为弹性体所占的体积。则泛函取驻值的充分必要条件是第34页,共41页，2024年2月25日，星期天§4.从计算的角度看几何学与力学从历史上看，不仅在对线性问题的求解中，发展了一整套几何语言来表述求解问题的技术，如：投影、解空间、误差度量、梯度法，等等。就是近代受到充分注意的非线性问题的计算中，起最重要作用的两个算法：同伦算法和单形法，它们都是起源于近代几何并且用近代几何语言来描述的。第35页,共41页，2024年2月25日，星期天进一步，在计算力学中近年来引起注意的分叉问题的计算，则不仅要和上述非线性问题的计算打交道，还要和动力系统的流、微分拓朴、变换群等概念打交道。第36页,共41页，2024年2月25日，星期天最后，还应当提起一个在计算力学方面比较明显的趋势，即在相空间内直接求解。在用手工进行计算的时代，多事先