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文档简介

关于切平面和法线第2页,共23页，2024年2月25日，星期天从而曲面在点的切平面方程为由于的任意性，可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，而就是切平面的法向量。在点（设点对应于参数）有第3页,共23页，2024年2月25日，星期天过点与切平面垂直的直线，称为曲面在点的法线，其方程为该法线的一组方向数为：第4页,共23页，2024年2月25日，星期天综上所述若曲面方程为则该曲面在点的切平面方程为过点的法线方程为第5页,共23页，2024年2月25日，星期天设分别为曲面在点的法线与轴正向之间的夹角，那末在点的法线方向余弦为第6页,共23页，2024年2月25日，星期天若曲面方程为容易把它化成刚才讨论过的情形：于是曲面在（这里）点的切平面方程为法线方程为第7页,共23页，2024年2月25日，星期天若曲面方程为参数形式：如果由方程组可以确定两个函数：于是可以将看成的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。代入方程，得因此需分别计算对的偏导数。第8页,共23页，2024年2月25日，星期天将分别对求导，注意到为的函数按隐函数求导法则有解方程组，得第9页,共23页，2024年2月25日，星期天法线方程于是曲面在点的切平面方程为第10页,共23页，2024年2月25日，星期天例1求球面在点的切平面及法线方程.解设则所以在点处球面的切平面方程为法线方程第11页,共23页，2024年2月25日，星期天曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于90度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。例2证明对任意常数，球面与锥面是正交的。第12页,共23页，2024年2月25日，星期天即证明球面的法线方向数为锥面的法线方向数为在两曲面交线上的任一点处，两法向量的内积因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面与锥面正交。第13页,共23页，2024年2月25日，星期天解切平面方程为法线方程为第14页,共23页，2024年2月25日，星期天解令切平面方程法线方程第15页,共23页，2024年2月25日，星期天解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得第16页,共23页，2024年2月25日，星期天因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程第17页,共23页，2024年2月25日，星期天第18页,共23页，2024年2月25日，星期天第19页,共23页，2024年2月25日，星期天第20页,共23页，2024年2月25日，星期天第21

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