函数y(19+x^2)=(2-5x^2)的图像示意图

函数y=eq\f(2-5x2,19+x2)的图像示意图※.函数的定义域∵分式函数的分母19+x2>0,对任意的x都成立，则自变量x可以取全体实数，∴函数y=eq\f(2-5x2,19+x2)的定义域为(-∞，+∞）。※.函数的单调性本步骤用导数知识来判断，先求函数的一阶导数：∵y=eq\f(2-5x2,19+x2)∴eq\f(dy,dx)=eq\f(-10x(19+x2)-2x(2-5x2),(19+x2)2)=-2*97*eq\f(x,(19+x2)2),则函数的单调性为：(1).当x≥0时，eq\f(dy,dx)≤0，此时函数y在定义域上为减函数；(2).当x＜0时，eq\f(dy,dx)＞0，此时函数y在定义域上为增函数。此时x=0处，函数y有最大值，即：ymax=f(0)=eq\f(2-0,19+0)=eq\f(2,19).※.函数的值域把函数y=eq\f(2-5x2,19+x2)变形为x2的二次方程为：(19+x2)y=2-5x2(5+y)x2=2-19y则有：x2=eq\f(2-19y,5+y)≥0，解出：-5＜y≤eq\f(2,19)，所以函数y的值域为：(-5,eq\f(2,19)]。※.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=-2*97*eq\f(x,(19+x2)2),∴eq\f(d2y,dx2)=-2*97*eq\f((19+x2)2-4x2(19+x2),(19+x2)4)eq\f(d2y,dx2)=2*97*eq\f(3x2-19,(19+x2)3),令eq\f(d2y,dx2)=0，则3x2-19=0，则x1=-eq\f(\r(57),3)，x2=eq\f(\r(57),3)，此时函数的凸凹性为：(1).当x∈(-∞，-eq\f(\r(57),3))∪(eq\f(\r(57),3),+∞）时，eq\f(d2y,dx2)＞0，此时函数y的图像为凹曲线；(2).当x∈[-eq\f(\r(57),3)，eq\f(\r(57),3)]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，此时函数y的图像为凸曲线。※.函数的奇偶性∵f(x)=eq\f(2-5x2,19+x2),∴f(-x)=eq\f(2-5(-x)2,19+(-x)2)=eq\f(2-5x2,19+x2)，即f(-x)=f(x),则函数为偶函数，其图像关于y轴对称。.函数的五点图表x01.262.523.775.032-5x22-5.94-29.75-69.06-124.5019+x21920.5925.3533.2144.3y0.11-0.29-1.17-2.08-2.81x-5.03-3.77-2.52-1.2602-5x2-124.50-69.06-29.75-5.94219+x244.3033.2125.3520.5919y-2.81-2.08-1.17-0.290.11.函数的图像示意图y=eq\f(2-5x2,19+x2) y（0,0.11）(-1.26,-0.29)(1.26,-0.29)(-2.52,-1.17)(2.52,-1.17)(-3.77,-2.08)(3.77,-2.08)