初中奥数试题大全及解析

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数学奥林匹克初中训练题(1)及答案解析

数学奥林匹克初中训练题(1)第一试

一・选择题.(每小题7分，共42分)

()1.已知°=3,则3-3)2+(5-c)2+3-8)9—C)的值为：

a+b-\-c

(A)l(B)2(C)3(D)4

()2.规定"△"为有序实数对的运算，如果(巴^^(。/)=3匕+及4。々+加),如果对

任意实数a,3都有(a,与△(xj)=(a,5),则(x,向为：

(A)(0,1)(B)(1,0)(O(-1,0)(D)(0,-1)

211

()3.在AABC中，一=一+—，则NA:

abc

(A)一定是锐角(B)一定是直角(C)一定是钝角(D)非上述答案

()4.下列五个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②

(&?=a;③若点P(a,b)在第三象限,则点P\-a,-b+T)在第一象限;⑷连结对角

线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对

应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是：

(A)2个(B)3个(04个(D)5个

()5.设P为等腰及△ABC斜边AB上或其延长线上一点，S=4P2+B尸\那么：

(A)SY2c尸2(B)S=2C?2(C)S>-2CP2(D)不确定

()6.满足方程/+/=2/+y)+»的所有正整数解有：

(A)一组(B)二蛆(C)三组(D)四组

二.埴空题.(每小题7分，共28分)

1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车

在中，客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟，小轿车追上了货车;又

走了5分钟，小轿车追上了客车.间再过____分钟,货车追上了客车.

2.若多项式F=2/-8&B+17属一16a-43+2070,

那么P的最小值是.

图1

数学奥林匹克初中训练题(1)及答案解析

参考答案6-4/36+4万

第一试由y是正整数.有Iwy<4.从而.y=1.2.3.4.

当y:1时./-3*-1・0・尤正整改第：

:♦6,+/-3%当y=2时,『-5=0.有止整数解为4;

■(<1♦6♦<,)(a<♦b°♦r*-ab-Ar-<w)»当『3时・』-5-3=0,无正裳数制；

晚条件等式为a,-¥b*♦J-ofc-Ar-e=3.当y=4时・/-6x+8=0.aiE整数解为2.4.

而要求代数式履开合并即为故晚方程的1E整数第力

«2♦62♦r---Ar-ca■3.

2.(B).

由定义知ZJ.15.

(a.6)«(0・&)△(#・，)»(OM♦by,ay4A1).如图4,设货

剜ox♦你军与客车、小轿年小轿车货车客车

网式相加,得的即阳均为§,小

(«+b)x♦(a♦6)ys«♦t>.轿归货车,客乍阳4

由a.b的仔总件知《♦y,I.的速底分别为附通货《经x分钟迫1.客车.

四式相谶.得("-6>i-(o-6)ysw-b.由HLS掰

同理财t-r=I.10(19-A)3S.1

故jrsI.t■0.l5(«-r)s2X.2

3.(U.r(K-r)sS.

ai£tt.XrZ4a>hihAi.7•«

H«>r,ff-<<L.干他.।♦*<!

«barrtfth

式伴/，-，=；/,即."川

•。条件不讯故〃]■定是悦M

ffl.代人1式⑪.甜x<>-c)s3(M6-r).

4.(0.由4-e.O.得*=30.30-10-5=15(分仲).

(1)钳,(2)(3)(4)(5)正确,故正编金的她4个.2.2002.

5.(0./=2—-2)。+178：-48+2070

如图3.作CD14乩?2[『-4(6.2)。64(6♦Z)?]-8(6.2)，

季足足Z).设。)=初二♦1763-46-2(00

B/)=LW-x.W-2b-4"+96?-366♦36♦2002

=2(o-2b-4)'♦9(A-2)'♦2002.

图3

当a-26-4=0Hb-2=0时.P达到最小(ft

:2♦犷-2W.为2002.

同理,切=P♦z2«l2*(l-HP):3.10.

…亦-2-flP.如图5.作P关于NMH

购式利加.得的边的时体点B,修.

2CP2=4♦4/♦*・MAP.HP}连结匕小，分别幺(l\.ORP

=4*A/.♦"-2d'♦M.Q.R.连结PQ.PK.^

当，•佐伸延长线上时，同法可证.故选(C).PQ=P、Q.PK=P,R,

6.(0.即Lz=P、Q，QK+P：R

顺方配整理得?-(y*2)z4(/-2y)»0.=P、P,・

A=(v*2V-2r)>0.则也气随即为所求周长最小的：用心.

而OP=OP=OP=10.

t:(D

/木用=/P,OQ•4POK=NP/WL

〃，・/SiHl)Y(V

ZP|w2/POQ+2NPOK下=就'"=前・

=2(/，W♦Z/YW)・2Z/K用=«F.

丁u/百不RD♦IX：BC

所以,乙PtO/\为等边三角形.

比时

rfe.PiP：-P,O«10./s/s

即。代㈣的呆小周K为io.即K»/s.

4,4/2*2/5.两边平方知S=凤♦2/书.

如图

6.4(-I.故2J£&=6ttzM=-^-S.

9).H(2.4«).M

CM=、/ayTi.从而.包S［・

OH=4.If>“.由①.②解科品=3律S,即£■耳S.

v

IM">l•故04边岭・(卷)如喈■(却.

呆小.即04不可触为

.则《5

制边.UlfB^^^6=(5*)0=\".

⑴若。"为斜边.则OB2・(M2♦5.即4

(ii)lllGteA.WC的收心，，用过点G.HDF

.16a.=a'♦I♦9♦9<i'=6"-=6n""=]n"=|(P4

W.»rwj^=yWDF^yAB.

-M用的周长力

v24.2O+/w=4/2*2/5.由〃ric织=;.得况*?.%.

<-oaJ

Gi)匕：W为科选.则t/f=<M;♦。标.即9

•m2血

♦9“：=“'♦I-x4.4'/iSS.fi(W,4C居M2AH【、

IL"痛加‘屈一

所以・△WH的周长为』々cG.德,"LW印绶」比

ABACAH'

第二试

又/皿=/4.故△勿FS.：姐C.

一,由Ial*l6+el.将a2>b:♦2bc♦r2.

得机卷,所以以■挈.

同可.b2'r。♦2m♦a”•Jxtt'+2aft+6*.

试相加.福三、n的最大可能值是9「

a1+b2♦r"^2«2♦26*♦2r5+2«A+2M♦2m.无证能被3整除.

事实匕=♦入<1*“♦入2<1+5%=3(0+26).

即a'+%'♦«*'♦2,而♦2Ar♦2cnw。.

则。♦&♦〃是3的倍数

Fl£.(a♦6♦e)J<0.

设“/被3除后的余数分别为r.fflr4.G#0.

显然J。♦〃♦<*)'*0.〃»<0.

故(“♦b♦c):=0.从而・“*b♦c=0.若心.〃♦剜，.=I.人,2或存r.=2.r*aI.此

二.如图7.时.2。♦”必为3的倍数,即「为合数.矛盾.

(i)-DE//AC.DF//AB,故r.=r.•则匚・〃二I•成，.=r,=2.此时.

必为的倍数,从前的倍数.

・・・£BIM：S'取工sjDCF."♦2A3"♦%♦<•^9

M证9是最大的.

W>/2xII♦5x5=47^II*5447=63,

2813*5x7=61中.13-7/61・81・

1^(63.80>9,

因此,9是域大可能的值.

(王心裕浙江省宁波市慎海外语实脸

学校.315200)

数学奥林匹克初中训练题(2)及答案解析

2008-03-1716:21来源：网络资源作者：佚名［打印］［评论］

效学奥林匹克初中训练题（2）

第一试

一.选择题.（每小题7分，共42分）

（）1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠宝1支共需

3.15元;若购铅筐4支,练习本10本,圆珠笨1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,II珠

至各1笆,共需：

（A）l.2元（8）1.05元（C）0.95元（D）0.9元

（）2.三角形的三边风瓦6都是整数,且满足。加+加+%+/+°+叱。=7,则此三

角形的面积等于：（A）立⑻立⑹立（D）立

2442

（）3.如图1,AABC为正三角形,PM_LAB,PN_LAC.设四边形AMPN,AABC的周长分别是

一肛则有:

1w323wyy>

（A）一-<一-C-（B）—-（一-（一（C）80%Y--C83%（D）78%Y—Y79%

2«53«4nn

（）4.满足5-32+3-3）2=6的所有实数对（思力，使y取最大值，此最大值

X

为:（A）3+2底⑻4+0（C）5+3拈（D）5+拈

（）5.设p=郎74+1+为4+1+Qc+1+乎％+1.其中a,友c,d是正实数，且满足

a+3+c+d=1.则p满足：(A)p>5

(B)p<5(C)p<2(D)p<3

()6.如图2,点0是正六边形ABCDEF的中心,0M±CD,N

为0M的中点.则S©”:S,时等于：

(A)9:5(B)7:4(C)5:3(D)3:2

图2

—.埴空题.(每小题7分，共28分)

1.若实数x,y满足(x4--jx2+1)04-y/y2+1)=1,则

B

图3

x+y=，

2.如图3,CD为直角△ABC斜边AB上的高,DE±AC.设

△ADE,△CDB,△ABC的周长分别是0,小，P•当P1+P-

取最大值时，NA=.

3.若函数丁=2H+5_中自变量的取值范围是

kx+4Ax+3

一切实数,则实数k的取值范围是.

4.如图4所示，线段AB与CD都是©0中的弦，其中

AB=}03°,AB=a,CD=360,CD=8,则。0的

半径R=.

第二试

T共2。分〃是一个三位北是一个一位数，联,占界都是整数，求i的最大

值与最小值.

二.（共25分）如图5,在△ABC中，ZA=60c,0,

1,H分别是它的外心,内心,垂心.试比较色

ABC的外接圆与AI0H的外接圆的大小，证明

你的论断.

三.（共25分）求方程组x,+」y+3z-n3的所有

/+/+Z3=3

整数解.

2EE®］

数学奥林匹克初中训练题（2）及答案解析

2008-03-1716:21来源：网络资源作者：佚名［打印］［评论］

参考答案:

设购船《、炼可本、典珠存各I件分别禽1元、y1,从而得

元、,元.依他意得PN=PK+KN=S.NQ=KQ-KN・3,

|3x*7y*i*3.15.SA：S»■PN；NQ=5；3.

l4x♦10/♦x»4.X.二J.O.

行般为12(x♦")♦(z"♦-y♦x)«3.I5,原式两边向来以di-x.W

英乂"3，"(x+yr)・4.20,y♦1/J♦I■//♦1-x：

M关于("3八、(**八「的方程也得原式网边同乘以J7丁i-y.W

X*y**=I.Q5,

x♦vjr*!=vpTl-y.

2.(0.两式相加立将x4-y«0.

由8=abc♦fie+cu+ofc+a+bfl2.如.

■1)(6*l)(e*I),易证KI4M）£SRI△血.

且8M8x1x]=4x2xl=2x2x2.RiACBDOORtA/WC.

可知"♦l=6+l=e+l=2=>assI.令BCma.ABmt.KDB*^.AD^e--.

故边K为1的正三角形的面积为于她里R=猾♦器--（：）'+：r・

3.(D).

设KW«».OV=y.W由二次函数性陵知.当9-■.即

HP・2x、PC・2y.EV«/3«・/W=/3v,磊r时,&■泮取最大值,此时乙0"

4W♦/W«2-BC-(ftW>OV)»3(,♦y).

3-64.73213.0W士〈孑.

收7,3x%；；j*~6~.-，

4.(A).⑴若*=0,用广等是常量函数.4#无关,故

令j・，•则(?♦I)JB'-6a♦1)x♦12:0.*・0符合已知条件.

⑵若"0.

<△=36(—D'-48(/*l)#0./-6，+lW0.

①当上>0时.由4?.4触+3="*+2）。3-

由/-6f♦1・[，-(3-2戊)][i-(3♦24)J.41知.雯使其恒不为。.则«可取••切实数.

知/-6iIWO的解集为3-2存・，・3+2乃.

v*（«♦J）1>O..-.Rff3-4i>O,0i<~.

故(右)"3*2存.

故Ov&v等.

5.(A).

由0<"<1,知②当*<0时,**（*+2>'V。.只需3-4*<0.

则7a♦1=a♦3。♦3。♦I即心春.与*<0矛慰,说明此情况不可能成立.

>a1♦3a:43a♦1«(a>1),.

布，7a♦I>a♦I.故实效上的花网是0W&<等.

同I〉6♦1./7TT1>r.kZMTi

4.1?«a-6或<Z^・

>d+1.

在XB上电耽・QB.逢AO、BO、8、。）M）

故,>("♦64e*J)4-4=5.

助阮△OCD.fiAMWCOA（1AB.

6.(0..

此时M・OM=CD-期工时b.

显然C、O、F共线如——犬

图6,连结即、MET.过外作/\/\或04■/必

ftMWJ_4£T.由于AB〃，X第二试

DE//CF.9fPQ1DE.PQ/

1CF・P、K«都是垂足.Vy第一、由于?••即±1）.♦-）•刷

由正六边影■对称性CMD口1.H与产-卡也

为△BCN94EDN,图6£药丁切・Y

易知PK=W=(W

•20N.VaA,♦>I>a6>6*>>-I-ab,

9——

又/械=/8必=沙.小・：砌・令AW・，炉—4*=。■即a*b1

当b=5时.a=125j当6=9时・〃=729.由(1)-(3)得△m/与△/<«(；的外接圆相等.

«(a*6)^-738.(a*b).=130.三、“♦y・3-£・①

二.作。关于比的

对称点0.*助段见图7.①*-②得盯=以生篁.

(I)由三角形外心、内

心、事心、张角公式，有知工.y为『-(3-八，♦殳孚上叫=0的两

/BOC=2/A

■皿

NB/C=时♦。/A

二120P.

■120°,

MB、C、，J、O五点共陶,即△/»〃的外接i»

与△0比的外接圜是同一个WL

当*-lu0即：s!时,*・y.

(2)易知/娥©=/度七=120%

当x-3»!BPx=40-t,x»4sft-5.y»-5或4；

Z4*Z«/C«180°.

当_x-3・-8即；*-5时,*ny=4.

财4、队O、C四点共WL即△OfiC与△板

故有四组解为・5・4).(・5,%4),

的外接01也站同一个BB.

(4.4,-$).

0)«!£△UBC="比,两个三角形的外接

(安■省安庆市教研室升内安微省怀宁

圈当然相等.

县江幡中学黄金福)

回词川B

数学奥林匹克初中训练题(3)及答案解析

200893-1716:27来源网络资源作益佚名【打印”评闻

教学奥林匹克初中训练题（3）第一试

一・选择题.（每小题7分，共42分）

（

儿在是。2。。，乒不打正”切是大于3的整数）这5个数

中，分数的个数为：（A）2（B）3（04（D）5

（）2.如图1,正方形ABCD的面积为256,点F在AD

上，点E在AB的延长线上,RtaCEF的面积为

200,则BE的长为：（A）10（B）ll（012

（D）15

（）3.已知a,b,c均为整数，且满足

a2+b2+c2+3<ab+3b+2c.贝U以

a+b,c-b为根的一兀二次方程是：（A）x2-3x+2=0(B)x?+2x—8=0

(C)X2-4X-5=0(D)?-2X-3=0

()4.如图2,在RtaABC中,AF是高，NBAC=90’,且

BD=DC=FC=1,则AC为：

(A)&(B)丛(C)0(D)%

）5.若上=空心空上，则上的值为:

（A）l（B）2（03（D）非上述答案

2

()6.设xNOjN0,2x+y=6,则〃=4x+39+/一6x-31y的最大值是:

（A）—（B）18（C）20（D）不存在

2

—.填空题.（每小题7分，共28分）

1x2+l

1.方程F---H---5-=——的头数根是___________.

x2+lx23x

2.如图3,矩形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,且S^JLBS=2,SgF=3,Sjjixif=4,

贝U-------------

3.已知二次函数y=—+（a+l）x+8{a,b为常数：）.当x=3时,1y=3;当x为任意实数

时，都有.则抛物线的顶点到原点的距离

为.

4.如图4,半径为2cm,圆心角为90’的扇形0AB的右上有一

运动的点P.从点P向半径0A引垂线PH交0A于点H.设aOPH

的内心为I,当点P在冠上从点A运动到点B时,内心I所

经过的路径长为.

第二试

（20分）在一个面积为1的正方形中构造一个如下的

小正方形;将单位正方形的各边〃等分，然后将每个顶

点和它相对应顶点最接近的分点连结起来，如图5所

示.若小正方形的面积恰为',求阀的值.

3281

（25分）一条笔直的公路/穿过草原，公路边有一卫生

站A,距公路30km的地方有一居民点B,&B之间的距

离为90hn.一天某司机智车从卫生站送一批急救药

品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60bn/h,在草地上行驶的最快速度

是30加/鼠问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少？

三.（25分）从1,2,3,........,3919中任取2001个数.证明：一定存在两个数之差恰好

为98.

0000

数学奥林匹克初中训练题（3）及答案解析

2008-03-1716:27来源：网络资源作者:佚名［打印］［评论］

参考答案

第一试

;(A/3—2>/2—次)=4(V2—1—V2)=—十,

当Mn>3)是整数时"7与/口中有一个是

无理数，即n与n-2不可能同时取到完全平方数.

设n=J,n-2=，.有s2—X2=2,(s+t)(s-t)=

2X1,J+/=2,5—t=1.因为s==■不是整

效解，所以，土不是分数.故分数有3个：

y,0.2002,y(\/3-272-72).

2.(0.

易证Rt△CDF^Rt△CBE.故CF=CE.

因为的面积是200,

即:•CF・C£=200,故C£=20.

而S正方…=BC2=256,得BC=16.

由勾股定理得BE=/CE2-BC^=12.

3.(D).

因为。3"为整(LR蟒足

♦3<oA♦3b♦24<,

所以♦o'♦6"♦c’♦3.A6♦3b♦24*-1.

修以、配方得

(«-y)♦3(y-1)♦(e-l)a<0.

所以.a-4=0,-j--1sO.c-I=0.

cwltS■2.a=I.

从而a*6s3,c-bs—|,

因此,求作的方程为r-2x-3・O.

4.(A).

设祝2X・初・8=。♦1.仞=*-1.由勾

股定理得

山二府一心户.

由射影定碑网

由勾股定理掰

山♦心■身。.

即1?-(X-I)24XJ=M*,亦即X4s2>«

又”0.则/-2.故x■力.

5.(0.

因为上.生Li空，■也5所叫

c1soa

2ab♦62s2,♦ac,

3

2ar♦a'・26♦bct

26r♦，=2a‘♦a6.

二式相加掰

a6+6e+flc・s'.8'+，.

等式两边乘以2,移项,配方将

(a-6)'*(6—c)'+(c-a)1=0.

所以-A»6-ese-a=0.

故a>6sc.

因此，=担2=8=3.

ce

6.(B).

由巳知将y飞一”.代入us4x:♦3xy♦yl-

”•3,,烟

u■2x2-6x+18.

而x>0.y■6-2x>0,M0<x<3.

/JT=O或时.u.=18.

数学奥林匹克初中训练题(3)及答案解析

2008-03-1716:27来源：网络资源作者：佚名［打印］［评论］

4U

fc«—3a—9.

当*为任意实数H,有y>x,即

晚方程变形为X3♦(a+1)X+b'K.

«./♦110

"j—；♦--■r①把“-3a-9代人褥

/♦I*3

»2♦ax-3o-9Ao.

令诚方》①变为

则3・/-4(-3"-9)=(o+6)'.0.

所以a•-6.得Aw9.

，♦:=3*y.

因此.二次函数弊析式为y=/-"♦9.慎点

则九・3或打・下.坐标为P(-|.=).

代人得或六・上则珅r/H)'♦回5=!5.

化筒傅

4Q*

3/7.3=0(无实效加)或/-3-1=0.4.-y-an.

解得x■芝叵.如图7./是Rt£,HW的内

心.旌结W、月,4.易*

经检聆是摩方程的解.△mttAav.

2.7.故NW，//W.

如图所示.设ABRX.S，八因为・

6N8/C闪/星Rt△”州的内心.

二虾,又S»・2,所以.所以,

//W，1町・(/.'♦/明)・IW・

即/M)=附.

过点4。./作乱腰心为a.连结00,.AOt.

同理■色ttttZWH=9(F.W,・々.所以.所求的蹄校长为

90ffx1丘x

所以.以=a)-CF-W-CF«x--.vn~*~T皿

88

M而2——第二试

M豆.

y一、过点a作C,AL4c.霞足为/，因为正/

而AD=甑.

形4m的面根为1.所以.

即气・!”•

48;此,3・6■5・

M.一

y

化旖整理刑由勾股定理知

//-10刀-24»0.4c・J8(^♦4示w+("J).

“得xy-!2.iy«-2(不合期范).

曷知《1414比8^45：..有

而S.MT4I*~♦y)=4.j»y=4.l2=l6.

CtP8、

WS^JM-右・w»-S.A•-S«^ar=7.

把i=3・》=3代人二次函数y・//(Q♦l)x

♦5得

因为x必定存在.所以A》。,即

ejiT.I

【l2O(y-4G)y-4*3x36aX9・y2)»O.

因为阴影部分小正方形的面根是所以.

化筒得4/-8/2y*5>0.

•一F&H.广嬴解得y,75+号或'.存-与(台去).

化曾并分加因式得

因此,y的雄小值为乃♦争此时.

(n>41)(n♦40)=0.

由n>0如na41./W=X=6O/2-IO/3.

二,如图8所示.设公路上行驶的路线是3,草

三<1)按98的余数0.1,2.….97可分成98类.

地上行腴的路级

ADCI而2001=98x20-41.由抽履悚剜可知.在这2001

是如，般的路—~厂

个数中必犯21个数属于同一类,即这21个敷中任

程为”.由已知条

B意两败之0都是98的倍数.

件他=90・死=

(2)若这21个数中任意两败之差都不是9K•