2023届北京市海淀区北京57中高考仿真模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.第24届冬奥会将于2023年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与

单独五个环面积之和的比值P,某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10,宽为6的长方形奥运会旗

内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为〃个，已知圆环半径为1,则比值尸的近似值为（）

2.在AA8C中，AB=2,AC=3,ZA=60°,。为的外心，若〃=x荏+yXU,x,yeR,则2x+3y=

（）

543

A.2B.—C.—D.一

332

3.若［正+工］的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为（）

Ix）

A.85B.84C.57D.56

4.已知过点尸（LD且与曲线y=d相切的直线的条数有（）.

A.0B.1C.2D.3

5.在AABC中，a,b,。分别为角A,B,C的对边，若AABC的面为S,且4Gs=（a+〃y—c?,贝！JsinC+?

（）

A1ur-V2^+V2

A.1B.-----C・------------D.------------

244

6.已知复数z=（l—a）+（a2—l）i（i为虚数单位，«>1）,贝！Jz在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.是边长为2G的等边三角形，E、尸分别为A3、AC的中点，沿所把尸折起，使点A翻折到点P

的位置，连接心、PC,当四棱锥P-3CEE的外接球的表面积最小时，四棱锥P-BCEE的体积为()

AA/6

56n36Rn376

4444

X

8.记〃个两两无交集的区间的并集为〃阶区间如(f,l]U[2,3]为2阶区间，设函数/(》)=丽，则不等式

/[/(x)]+340的解集为()

A.2阶区间B.3阶区间C.4阶区间D.5阶区间

9.若函数/(x)=-lnx+x+〃，在区间)上任取三个实数。，b,c均存在以/(a),f(b),/(c)为边长的

三角形，则实数〃的取值范围是()

A.(-1,1一11B.c.QT+QQ]D.(e-3,+<»)

10.观察下列各式：X⑤y=2,V③y2=4,位y3=9,/③y4=]7,%5区y5=3],%6⑥y6=54,/区y7=92,

…，根据以上规律，则"°区>|°=()

A.255B.419C.414D.253

11.定义在R上的函数/W满足/(4)=1,/(X)为/(*)的导函数，已知y=/'(X)的图象如图所示，若两个正数a/

满足了(2a+加<1,则2±1的取值范围是()

<7+1

A.(―,—)B.(―℃,—)<J(5,+oo)C-(—,5)D.(-<»,3)

12.正方体ABCD-ABCA,e(i=l,2,…,12)是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面AG8平行的直线

有几条()

A.36B.21C.12D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

.—«—.——―—_..1—•—•

13.已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量a/满足|a|=|b|=1,且。山=5，d-(«,1-»),存

在以B,对于任意的实数”〃，不等式|Z-M+出-7巳7，则实数T的取值范围是.

14.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人

至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数

为.(用数字作答)

15.已知函数/(无)=MnH+|cos4则下列结论中正确的是.①/(x)是周期函数；②/(X)的对称轴方程

为x=9,kwZ；③/(x)在区间［上为增函数；④方程.f(x)=《在区间一号,0有6个根.

16.已知公=〃，则(1一2)*+1)"展开式f的系数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛4｝,也｝,数列｛%｝满足〃为偶数，〃eN*.

(1)若见=〃，〃=2",求数列｛c“｝的前2〃项和七；

⑵若数列&｝为等差数列，且对任意"eN*，c“+i>q,恒成立.

①当数列也｝为等差数列时，求证：数列｛4｝,也｝的公差相等；

②数列｛a｝能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列也｝;若不能，请说明理由.

18.(12分)已知抛物线C：y2=2px(〃>0),点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x—4y+2=0的距离为4，

d,1

焦点/到抛物线C的准线的距离为右，且于=：7.

d22

(1)求抛物线C的标准方程

(2)若x轴上存在点“，过点”的直线/与抛物线C相交于P、。两点，且溢下+面*为定值，求点”的

坐标.

19.(12分)如图，在四棱锥P-A3C。中，PD_L平面ABC。，底面ABC。是矩形，AD=PD,E,尸分别

是CD,/有的中点.

(II)设48=出8。=3，求三棱锥P—AEF的体积.

20.(12分)已知函数分x)=|r-2|一人+1卜

(I)解不等式大x)>l;

(II)当x>0时，若函数g(x)=-X+15>0)的最小值恒大于八X),求实数a的取值范围.

X

21.(12分)2019年入冬时节，长春市民为了迎接2023年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从

速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为

评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)求团的值；

(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2x2列联表补充完整，并判断能否在犯

错误的概率在不超过().01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？

擅长不擅长合计

男性30

女性50

合计100

2

P(K>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bcY一一,,

(K“=----------------------,其中〃=a+6+c+d)

(a+/?)(c+d)(a+c)[b+d)

22.(10分)如图，已知在三棱台ABC-4々a中，AC=2AB=2,BC=M，ARA.BB].

（D求证：AB±CC（；

（2）过AB的平面ABOE分别交4G，AG于点。，E,且分割三棱台ABC-所得两部分几何体的体积比

为K\A,E-BB,D—匕BC-BDG=4:3,几何体ABC-EDG为棱柱，求\BX的长.

提示：台体的体积公式丫=；（S'+J5M+S，（S',S分别为棱台的上、下底面面积，〃为棱台的高）.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值P.

【详解】

设会旗中五环所占面积为s,

Sn60〃

由于下所以s

60~N~

故可得尸=上_=12n

5万菽

故选：B.

【点睛】

本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.

2.B

【解析】

首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x,即可求出2x+3y的值.

【详解】

如图所示过。做三角形三边的垂线，垂足分别为。，E，F,

过。分别做AB，AC的平行线NO,MO,

”公AB2+AC2-BC29+4+BC2“金

由题知cos60=----------------------=--------------=>BC=J7,

2-AB-AC12

则外接圆半径r=-BC—=—

2-sin6003

因为QD_LA6,所以OD=

214

又因为ZDMO=60°,所以。M=-nAM=—,MO=AN=~,

333

由题可知AO=xAB+yAC=AM+AN,

所以2x+3y=g.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.

3.A

【解析】

先求“，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.

【详解】

解：(6+工)的展开式中二项式系数和为256

故2"=256，〃=8

8-r8-4「

Tr+i=啖k婷=&丁

要求展开式中的有理项，则r=2,5,8

则二项式展开式中有理项系数之和为：C；+C；+C；=85

故选：A

【点睛】

考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.

4.C

【解析】

设切点为(x0,%)，则y°=x；,由于直线1经过点(1,1),可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点X。处

的切线斜率，建立关于X。的方程，从而可求方程.

【详解】

若直线与曲线切于点(x0,yo)(xo^O),则k=%==20=x"X。+1,

x0-1x0-l

又：y'=3x?,y'|x=Xo=3X()2,2x：-x0-l=(),解得X。=1,x()=_lt

二过点与曲线C:y=x，相切的直线方程为3x_y_2=0或3x-4y+l=0,

故选c.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何

意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

【解析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可.

【详解】

解:由4gs=(a+Z?)2—c2,

a2+b2-c2=2abcosC，

2百absinC=2abeosC+2ab，

即6sinC-cosC=l

即2sinC--

则sin|C-—

vo<c<%,

71八71

—<c—<——，

66

c-rr即0

G&i0V6+V2

.71冗TC.71

贝（]sin[C+aJ=sinsin—cos—+cos—sin—=-------XF—X=--------------------

2222

故选D.

【点睛】

本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计

算是解决本题的关键.

6.B

【解析】

分别比较复数二的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】

因为。＞1时，所以1一。＜0,«2-1＞0.所以复数2在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

7.D

【解析】

首先由题意得，当梯形BCEE的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现,

8C的中点即为梯形5CEE的外接圆圆心，也即四棱锥P—3CEE的外接球球心，则可得到PO=OC=g,进而可

根据四棱锥的体积公式求出体积.

【详解】

如图，四边形BCEE为等腰梯形，则其必有外接圆，设。为梯形3c庄的外接圆圆心，

当。也为四棱锥P-3CEE的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A作BC的垂线

交.BC于点M,交.EF于点N,连接点。必在AM上，

E、产分别为A3、AC的中点，则必有AN=PN=MN,

ZAPM=90°，即△4PM为直角三角形.

对于等腰梯形BCEE,如图：

/

/\

因为△A8C是等边三角形，E、F、”分别为AB、AC.8c的中点,

必有MB=MC=MF=ME,

所以点“为等腰梯形5CEE的外接圆圆心，即点。与点加重合，如图

r

c

：.PO=OC=；BC=6PAVAG-PO2=打-3=遥,

所以四棱锥P—BCFE底面BCFE的高为丝丝=事又#=0,

AM3

113,131.rrrr3\/6

Vp_BCFE=§SpcFE入人=§*1乂/*2>/3乂3乂>/2—4•

故选：D.

【点睛】

本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力

和分析能力，是一道难度较大的题目.

8.D

【解析】

可判断函数为奇函数，先讨论当X>()且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应

常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解

【详解】

In%—1

当X>0且XH1时，/'(X).令/'(x)=0得x=e.可得/'(x)和/(%)的变化情况如下表:

(inx)2

Xx—>0(0,1)(l'e)e(e,+8)

/'(力/——0+

/(x)/(x)f0e/

令〃x)=，，则原不等式变为/⑺4-3,由图像知/⑺4-3的解集为年(-00,4川(小-1)11［如1)，再次由图像得到

〃x)€(_8川U%，-1)UR/)的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D

【点睛】

本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想,

属于难题

【解析】

利用导数求得了(x)在区间>上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得〃的取值

范围.

【详解】

1Y—1

/(X)的定义域为(0,+。)，,

XX

所以“X)在上递减，在(l,e)上递增，“X)在x=l处取得极小值也即是最小值，/⑴=-lnl+l+〃=l+〃，

=-In-+-+/?=-+1+//,f^e)--\ne+e+h-e-\+h,

所以在区间上的最大值为/(e)=e-l+/2.

要使在区间上任取三个实数。，b,c均存在以/(a),f⑼,/(c)为边长的三角形,

则需/(4)+/(8)>/©恒成立，且/⑴>0，

也即初L>/(cLx，也即当〃=h=1、c=e时，2/⑴>.f(e)成立，

即2(l+〃)>e-l+〃，且/(l)〉。，解得〃>e—3.所以〃的取值范围是(e—3,”).

故选：D

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.

10.B

【解析】

每个式子的值依次构成一个数列｛4｝,然后归纳出数列的递推关系4,+为_2+〃后再计算.

【详解】

以及数列的应用根据题设条件，设数字2,4,9,17,31,54,92,…构成一个数列｛%｝,可得数列｛4｝满足

+/_2+〃(〃23,〃wN*),

则/=%+4+8=54+92+8=154,

。9=/+%+9=154+92+9=255,6z10=<z9+6zg+10=255+154+10=419.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项.

【解析】

先从函数单调性判断的取值范围'再通过题中所给的出〃是正数这一条件和常用不等式方法来确定铝的取值

范围.

【详解】

由y=/'(X)的图象知函数/(x)在区间(0,+8)单调递增，而2a+匕＞0,故由/(2。+份＜1=/⑷可知2a+0＜4.

b+14-2tz+l7广

故---<--------=-2+----<5,

0+1(2+1a+1

b+\b+\--2+___>L/■)+11

又有4+12b.b3,综上得一；的取值范围是(不5).

3---3-]a+13

2

故选:c

【点睛】

本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.

12.B

【解析】

先找到与平面4GB平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.

【详解】

考虑与平面平行的平面耳舄媒，平面九6近，平面鸟

共有C；+C；+C；=21,

故选：B.

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(6-何

13.-co,---

I4」

【解析】

由题意可设&=(1,0),5=(；,与,由向量的坐标运算，以及恒成立思想可设机=1,|万-可+出-/|的最小值即为

点(；，岑)到直线x+y=l的距离4,求得d,可得T不大于d.

【详解】

解：且=

-rfl柠

可设。=(1,0),b=,

k2」)

c-(m,\-m),d=(〃/一〃),

可得|a-c|+|7-d|=J(1-n?)2+(1-^)2g),|_’

可得c,d的终点均在直线x+y=1上，

————人61

由于〃z,〃为任意实数，可得根=1时，la—c|+S-d|的最小值即为点到直线x+y=l的距离d,

\7

1

可得22V6-V2，

d=------j=---=--------

也4

对于任意的实数加，〃，不等式|£一"|+出一2巨丁，可得TW"一衣,

4

(76-721

故答案为：-%,.

【点睛】

本题主要考查向量的模的求法，以及两点的距离的运用，考查直线方程的运用，以及点到直线的距离，考查运算能力,

属于中档题.

14.5040.

【解析】

分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为"=MA：+C；C；父=1440+360()=504()。填5040.

【点睛】

利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于

特殊元素“优先法”，所以有了分类。本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”。

15.①@④

【解析】

由函数/(x)=|sin+|cos=jQsinx|+|cos卜+卜in2x1，对选项逐个验证即得答案.

【详解】

■函数=|sinx|+|cosx\-^(|sinx|+|cos^|)-=+卜in2闻，

•../(x)是周期函数，最小正周期为故①正确；

当sin2x=±l或sin2x=0时，/(x)有最大值或最小值，此时2》=，乃+、或eZ,即％=与+?或

t7T——j_

x=一GZ,BPx=——、keZ.

24

・・.f(x)的对称轴方程为工二?，keZ,故②正确；

当年)时，泉苧)此时y=卜由2才在上单调递减，在(l，,)上单调递增，••/(九)在

(JI34

区间:，下上不是增函数，故③错误;

作出函数/(x)的部分图象，如图所示

二方程/(x)=g在区间一段,0有6个根，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.

16.-8

【解析】

先根据定积分求出»的值，再用二项展开式公式即可求解.

【详解】

2(\1

44

因为卜3公=lx=lx2=4

J44

所以〃=4

r

(x+1)4的通项公式为Tr+｝=C；X14T.短=C；x

当厂=2时，7；=C；xl4-r.Z=C>2=6x2

当r=3时，

故6-2)(x+l)"展开式中/的系数为4+(-2*6=-8

故答案为：-8

【点睛】

此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4"+14

17.(1)7；„=-y-+«2-j⑵①见解析②数列也｝不能为等比数列，见解析

【解析】

(1)根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；

(2)①设数列｛为｝的公差为d,数列也“｝的公差为4,当“为奇数时，得出&Nd；当〃为偶数时，得出

从而可证数列｛a,,｝,｛b,,｝的公差相等；

②利用反证法，先假设也｝可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列也｝不能为等比数列.

【详解】

(1)因为。“=〃，2=2",所以。“+2-。”=2,与=4且。=q=l,c2=b2=4

由题意可知，数列卜2,一｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

数列｛。2“｝是首项和公比均为4的等比数列，

由/?(»-1)°4(1-4")4n+124

所以7；“=〃+—------x2+--------=——+〃-—；

221-433

(2)①证明：设数列｛4｝的公差为"，数列也｝的公差为4，

当n为奇数时，q,=凡=6+(〃-l)d,c„+l=〃用="+nd｝

ci,-d—h.

若4<d,则当〃>------厂时，*一的=(4一〃)〃+1-4<0,

〃1一〃

即g+i<%，与题意不符，所以4zd，

当«为偶数时，c“=仇=乙+(〃T)4,cn+l=all+l=at+nd,

b,-di—a,

若4>”,则当〃〉一---时，c“+|-q,+4<0,

d-Ct、

即C“M<c"，与题意不符，所以4<d，

综上，d、=d,原命题得证；

②假设也｝可以为等比数列，设公比为g,

b、9

因为C.+|>C,,所以C,+2>C“+]>C„,所以4+2-%=21>°，才->1,

因为当〃"咻萧不时,

也+2一2|=h|(/T)=|叶T)>41，

所以当”为偶数，且an_｛<bn<%时,bn+2e(a„+I,afl+3),

即当〃为偶数，且cn_t<cn<q用时，*<cn+2<cn+3不成立，与题意矛盾，

所以数列也｝不能为等比数列.

【点睛】

本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要

回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心

素养.

18.（1）y1=4x

（2）（2,0）

【解析】

(i)先分别表示出4,右，然后根据夕=；求解出，的值，则c的标准方程可求；

11

(2)设出直线I的方程x=〃9+r并联立抛物线方程得到韦达定理形式,然后根据距离公式表示出ek+77衣厂并

\PM|-|QM|-

11

代入韦达定理形式，由此判断出+K斤为定值时”的坐标.

【详解】

(1)由题意可得，焦点/P>0,则

3X'+23x—+2i

,2*2，/=p,

a,=------------=——-——

55

3x^+2

:,d一ii解得p=2.

U1_J_1

d2P2

抛物线C的标准方程为y2=4x

（2）设M（/,0）,设点P（jq,y）,Q（w，%），显然直线/的斜率不为0.

设直线/的方程为x=仅X+r

x=my+t.

联立方程12；，整理可得y-4my_4t=0

y=4x

A=16（r+m）2>0,>1+%=4m，>|必=-4，

/.|PM|=5/1+疗况,|QM|=，1+/叫月|

・i।i_i।1一4+3

*,IPM|2|QM|2（1+加2）弘2（i+,叫）,；（1+疝）加；

（1+疗）2rm2+2r2

112t

要使五亦+77^7瓦为定值，必有==解得r=2,

，岛下+后2下为定值时，点"的坐标为（2，°）

【点睛】

本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题，难度一般.（1）处理直线与抛物线相交对应的定值问题，联立

直线方程借助韦达定理形式是常用方法；（2）直线与圆锥曲线的问题中，直线方程的设法有时能很大程度上起到简化

运算的作用。

3

19.（I）见解析（II）-

4

【解析】

（I）取以中点G,连/G,GD,根据平行四边形，可得EF//DG,进而证得平面PA6L平面皿>,利用面

面垂直的性质，得。G_L平面Q钻，又由EFI/DG,即可得到瓦，平面Q43.

（n）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.

【详解】

（I）取力中点G,连FG,GD,

由FGl/AB,FG=-AB,ED//AB,ED=-AB,可得FG//ED,FG=ED,

22

可得EDGF是平行四边形，则瓦7ADG,

又P£>_L平面ABC。，.•.平面％Q_L平面ABC。，

•••ABLADnAB,平面PAO,ABu平面Q4B,.•・平面RIB，平面PAD,

VPD=AD,G是%中点，则DG_LQ4,而。Gu平面PAOnDGJ•平面245,

而所/ADG,EFL平面

（ID根据三棱锥的体积公式，

得^P-AEF~^B-AEF=^F-BAE=耳%-BAE=XX^ASAEX尸。

=­x—x—x3xy/3xy/3

2324

【点睛】

本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面

位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于

基础题.

20.(I){x|x<0};(II)[l,+oo).

【解析】

(I)分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集；(II)由条件利用基本不等式求得=2&-1,

/(X)G［-3,1),再由26-121，求得”的范围.

【详解】

(I)当x>2时，原不等式可化为x—2-此时不成立；

当一1WXW2时，原不等式可化为解得x<0,即一lWx<0；

当x<-l时，原不等式可化为2—x+x+l>l,解得x<—l.

综上，原不等式的解集是{x|x<0}.

(II)因为g(x)=ac+L—122G—l,当且仅当犬=也